Det gyldne snit

Vi siger at et punkt P deler et linjestykke i det gyldne snit, hvis forholdet mellem hele linjestykket og den længste del er lig med forholdet mellem den længste del og den korteste del, altså

Formålet med denne side er at vise, hvorledes man kan konstruere en pentagon ved hjælp af det gyldne snit, altså en femkant hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store.

Først beviser vi, at forholdet mellem en diagonal og en side i en pentagon er lig med det gyldne snit.
Bevis:


Browseren understøtter ikke Java

Af beviset fremgår, at der findes to ligebenede trekanter, hvor forholdet mellem en side og grundlinjen (eller omvendt) er lig med det gyldne snit, se fx trekant EBC og trekant ECD.

Omvendt gælder også, at hvis en ligebenet trekant er gylden, så er vinklerne enten 36º, 72º, 72º eller 108º, 36º, 36º. Beviset fremgår af den følgende figur:



Dernæst vil vi vise, hvorledes man kan konstruere et gyldent rektangel, dvs. et rektangel, hvor forholdet mellem den længste side og den korteste side er lig med det gyldne snit. Vi tager udgangspunkt i et kvadrat med sidelængden 2. Undervejs får vi brug for følgende

Browseren understøtter ikke Java


Endelig viser vi, hvorledes man kan konstruere en pentagon med en given sidelængde ved hjælp af den foregående konstruktion. Det er op til dig selv at forklare fremgangsmåden, og at gøre rede for konstruktionens gyldighed.

Browseren understøtter ikke Java


Links

Det gyldne snit forekommer i utallige sammenhænge i matematik, kunst og arkitektur, og der findes mange sider om det gyldne snit på nettet: prøv selv at søge på Golden Section. Her er en af de bedste matematiske sider:

The Fibonacci Numbers and the Golden section

05/2004/pmh