Algebraisk (ikke standard) differentialregning

Vi opfinder en uendelig lille størrelse  `delta` som ikke er et reelt tal og som derfor ikke er 0, men som har den egenskab, at  `delta^2=0` .
Se, hvordan  `delta`  kan konstrueres nedenfor.
Ud fra denne kan vi danne mængden af uendelig små størrelser
    `U={delta*x|x in R}`
U består dermed af alle størrelser af form  `delta*x`  hvor x er et reelt tal.
Om en vilkårlig uendelig lille størrelse  `u=delta*x`  gælder, at  `u^2=0`
fordi  `u^2=delta^2*x^2=0*x^2=0`

Definition af differentialkvotient

Hvis der om en funktion, f, gælder, at
    `f(x+u)=f(x)+u*g(x)`  hvor  `x in R`  og  `u in U`
så kalder vi `g(x)` for diffenrentialkvotienten for f(x) og betegner den  `g(x)=f ´(x)`
Vi kan så skrive, at

Vi kunne også omforme til  `f ´(x)=(f(x+u)-f(x))/u`
hvor definitionen så ville ligne den traditionelle definition mere, dog med den væsentlige ændring, at her skal der ikke gennemføres nogen grænseovergang , `u->0` , for at nå frem til differentialkvotienten, fordi  `u`  allerede i forvejen er uendelig lille.

Vi vælger dog den indrammede version, fordi division med uendelig små størrelser ikke er entydigt defineret.
Vi har for eksempel, at  `0/u=0`  fordi  `0=u*0` ,
men vi har også, at  `0/u=u`  fordi  `0=u*u`
og vi har forudsat, at  de to "divisionsresultater" ikke er ens  `u!=0`

Eksempel 1:
    `(x+u)^2=x^2+u*2x+u^2=x^2+u*2x`  så  `(x^2)´=2x`

Eksempel 2:
    `(x+u)^3=x^3+u*3x^2+u^2*3x+u^3=x^3+u*3x^2`  så  `(x^3)´=3x^2`

Eksempel 3:
Vi kan fortsætte som ovenfor og vi får
    `(x^4)´=4x^3`  og generelt
    `(x^n)´=nx^(n-1)`  når  `n in N`  dvs n er et helt positivt tal.

Eksempel 4:
    `1/(x+u)=(x-u)/{:(x+u)*(x-u):}=(x-u)/x^2=1/x+u*(-1/x^2)`  hvoraf  `(1/x)´=-1/x^2`

Regneregler for differentiation

Hvis f og g er differentiable, dvs  `f(x+u)=f(x)+u*f ´(x)`  og  `g(x+u)=g(x)+u*g ´(x)`  så gælder

beviser

    `f(x+u)+g(x+u)=f(x)+u*f ´(x)+g(x)+u*g ´(x)=(f(x)+g(x))+u*(f ´(x)+g ´(x))`  hvoraf plusreglen følger.

    `f(x+u)-g(x+u)=f(x)+u*f ´(x)-(g(x)+u*g ´(x))=(f(x)-g(x))+u*(f ´(x)-g ´(x))`  hvoraf minusreglen følger.

    `f(x+u)*g(x+u)=(f(x)+u*f ´(x))*(g(x)+u*g ´(x))=f(x)*g(x)+u*(f(x)*g ´(x)+f ´(x)*g(x))+u^2*f ´(x)*g ´(x)`
            `=f(x)*g(x)+u*(f(x)*g ´(x)+f ´(x)*g(x))`  hvoraf gangereglen følger.

    `f(x+u)/g(x+u)={:(f(x)+u*f ´(x))*(g(x)-u*g ´(x)):}/{:(g(x)+u*g ´(x))*(g(x)-u*g ´(x)):}`  her forlænges med  `g(x)-u*g ´(x)`
                `={:f(x)*g(x)+u*(f ´(x)*g(x)-f(x)* g ´(x))-u^2*f ´(x)*g ´(x):}/{:g(x)^2-u^2*g ´(x)^2:}`
                `={:f(x)*g(x)+u*(f ´(x)*g(x)-f(x)* g ´(x)):}/{:g(x)^2:}`  her bortfalder led med  `u^2`
                `=f(x)/g(x)+u*(f ´(x)*g(x)-f(x)*g ´(x))/g(x)^2`  her er nævneren divideret op
    hvoraf brøkreglen følger.

    `f(g(x+u))=f(g(x)+u*g ´(x))=f(g(x))+(u*g ´(x))*f ´(g(x))`  hvoraf sammensat differentiation følger.

    Sæt nu  `f(x)=y`  og  `f ´(x)=y´`
    `f(x+u)=y+u*y´ iff x+u=f^-1(y+u*y´)`  hvoraf
    `f^-1(y+u*y´)=x+u*(y´)/(y´)=x+(u*y´)*1/(y´)`  hvoraf reglen for differentiation af omvendt funktion følger.

Eksempel 5:

`f(x)`	`f ´(x)`
`sqrt(x)`	`1/(2*sqrt(x)`
`e^x`	`e^x`
`a^x`	`a^x*ln(a)`
`x^a`	`a*x^(a-1)`
`ln(x)`	`1/x`
`sin(x)	`cos(x)`
`cos(x)`	`-sin(x)`
`tan(x)`	`1+tan(x)^2`

    Til differentiation af  `sqrt(x)`  skal vi først definere  `sqrt(x+u)`
    `sqrt(x+u)=sqrt(x)+u*y´ =>x+u=x+2*sqrt(x)*u*y´`   idet vi har sat i anden.
    Vi får    `1=2*sqrt(x)*y´`  så  `y´=1/{:2*sqrt(x):}` .   
    Vi kan nu definere
        `sqrt(x+u)stackrel"D"=sqrt(x)+u*1/(2*sqrt(x))`
    og vi ser, at  `sqrt(x)´=1/{:2*sqrt(x):}`

Størrelserne  `f(u)`  hvor f er sinus, cosinus eller den naturlige eksponentialfunktion er straks vanskeligere at definere, og vi bruger her traditionelle potensrækker som definition:
    `e^xstackrel"D"=1+x/(1!)+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)+...`  hvoraf  `e^u=1+u`  da alle højere potenser af u bortfalder.
    `sin(x)stackrel"D"=x/(1!)-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-...`  hvoraf  `sin(u)=u`  da alle højere potenser af u bortfalder.
    `cos(x)stackrel"D"=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-...`  hvoraf  `cos(u)=1`  da alle højere potenser af u bortfalder.

Eksempel 6:
    `e^(x+u)=e^x*e^u=e^x*(1+u)=e^x+u*e^x`  hvoraf  `(e^x)´=e^x`

    Da den naturlige logaritmefunktion er omvendt funktion til den naturlige eksponentialfunktion, får vi
    `e^x=y iff x=ln(y)`
    `ln´(y)=1/(y´)=1/y`  da `e^x` har sig selv som differentialkvotient,  så  `ln ´(x)=1/x`

    `a^x`  differentieres efter omskrivningen  `a^x=e^(x*ln(a))`  som sammensat funktion:
    `(a^x)´=(e^(x*ln(a)))´=e^(x*ln(a))*ln(a)=a^x*ln(a)`

    mens  `x^a`  differentieres efter omskrivningen  `x^a=e^(a*ln(x))`
    `(x^a)´=(e^(a*ln(x)))´=e^(a*ln(x))*a/x=x^a*a/x=a*x^(a-1)`  så  `(x^a)´=a*x^(a-1)`

Eksempel 7:
    `sin(x+u)=sin(x)*cos(u)+cos(x)*sin(u)=sin(x)+u*cos(x)`  hvoraf  `sin´(x)=cos(x)`
    `cos(x+u)=cos(x)*cos(u)-sin(x)*sin(u)=cos(x)+u*(-sin(x))`  hvoraf  `cos ´(x)=-sin(x)`
    Vi har i de to linjer ovenfor benyttet additionsformler for sinus og for cosinus,
    som kan bevises uden brug af differentialregning.
    `tan ´(x)=(sin(x)/cos(x))´={:sin ´(x)*cos(x)-sin(x)*cos ´(x):}/cos(x)^2={:cos(x)^2+sin(x)^2:}/cos(x)^2=1+tan(x)^2`  hvoraf  `tan ´(x)=1+tan(x)^2`

Vi mangler at gøre rede for, at en uendelig lille enhed faktisk eksisterer (dvs kan konstrueres).
Vi regner først videre i stil med ovenfor:

Regneregler for størrelser af form  `x+u`

    `(x_1+delta*y_1)+(x_2+delta*y_2)=(x_1+x_2)+delta*(y_1+y_2)`
    `(x_1+delta*y_1)-(x_2+delta*y_2)=(x_1-x_2)+delta*(y_1-y_2)`
    `(x_1+delta*y_1)*(x_2+delta*y_2)=(x_1*x_2)+delta*(x_1*y_2+x_2*y_1)`  idet  `delta^2*y_1*y_2=0`
    `(x_1+delta*y_1)/(x_2+delta*y_2)={:(x_1+delta*y_1)*(x_2-delta*y_2):}/{:(x_2+delta*y_2)*(x_2-delta*y_2):}={:x_1*x_2+delta*(x_2*y_1-x_1*y_2):}/x_ 2^2=x_1/x_2+delta*(x_2*y_1-x_1*y_2)/x_2^2`  idet led med  `delta^2` bortfalder

Vi kan nu definere størrelser af form  `x+delta*y`  ved at identificere dem med talpar

hvor vi så samtidig skal definere, hvordan vi vil regne med disse talpar.

Idéen til definitionen af regnereglerne tager vi naturligvis fra afsnittet ovenfor

Størrelsen  `delta`  ser i "talpar-notation" sådan ud:  `(0,1)` 
og ved anvendelse af regneregler ovenfor (for talpar) får vi
    `(0,1)*(0,1)=(0*0,0*1+1*0)=(0,0)`
som vi kan oversætte baglæns til  `0+delta*0`  som naturligt identificeres med  `0`
Vi kalder `delta` uendelig lille, fordi  `|delta|=sqrt(delta^2)=0`  selv om  `delta!=0`

Tilsvarende kan samtlige beregninger ovenfor vedrørende differentiation oversættes til talpar-notation.

Specielt defineres  `f ´(x)`  ved  `f(x,y)=(f(x),y*f ´(x))`