Differentiation af sinus, cosinus og tangens
Vi kan fordele besværet med beviserne ved først at tage et par
hjælpesætninger:
Hjælpesætning 1 (additionsformlerne)
Vi
får brug for den første (om sinus) og den beviser vi:
Bevis:
Figuren konstrueres
sådan:
Afsæt vinklerne a og h i forlængelse af hinanden.
Tegn linje fra F vinkelret ned på x-aksen.
Tegn linje fra F vinkelret ned på vinkel a's øverste ben.
Tegn linje fra E vinkelret hen på AF.
Nu bliver DOAC og DFEC
ensvinklede, da de har topvinlerne ved C lige store, og da de begge er
retvinklede. Vi kan regne videre sådan:
som skulle vises.
Hjælpesætning 2 (et par ikke-trivielle grænseovergange)
-
Bevis:
a) Vi går ud fra, at cosinus er
kontinuert i 0, da en ubrudt bevægelse langs enhedscirklen mod retningspunktet
P
0 giver ubrudt bevægelse på x-aksen mod cos 0.
Den første grænseovergang i sætningen klares ved at vurdere brøken opad og nedad
med formler, hvori vi kan klare grænseovergangen.
På figuren er
|OB| = 1, |OC| = 1, |OA|=cos h,
|AB| = sin h, |CD| = tan h
Vi ser, at cirkeludsnittet (lagkagestykket) OBC indeholder trekanten OAB og er
indeholdt i trekanten OCD.
Vi har derfor, at
Udtrykt med h har vi, at
hvor trekantarealerne er beregnet med ½hg og hvor arealet af cirkeludsnittet er
beregnet med formlen
Af dobbeltuligheden fås nu, med nogle rokeringer, og hvis alle indgående
størrelser er positive, at
Nu klares grænseovergangen i enderne af dobbeltuligheden ved indsættelse af h =
0.
I begge ender får vi resultatet 1. Om den (foreløbig) ukendte størrelse i
midten af dobbeltuligheden kan vi derfor konkludere, at
hvilket kun efterlader den mulighed, at den ukendte grænseværdi selv må være lig
med 1.
Hermed er første påstand i
hjælpesætning 2 vist.
b) Anden påstand klares ved omskrivning af resultatet ovenfor
hvor vi efter tredie lighedstegn ovenfor har brugt, at
Hermed er den anden påstand i hjælpesætning 2 vist.
Sætning 3 - om differentiation af sinus
sinus er differentiabel i a med
sin'a = cos a
Bevis:
hvor vi efter første lighedstegn har anvendt additionsformel
(hjælpesætning 1)
og i grænseværdien har benyttet grænseværdierne fra hjælpesætning 2 og
diverse regneregler for grænseovergang.
Sætning 4 - om differentiation af cosinus
cosinus er differentiabel i a med cos'a =
-sin a
Bevis:
Additionsformlerne giver
og
Med sammensat differentiation fås nu
hvilket skulle vises.
Sætning 5 - om differentiation af tangens
tangens er differentiabel i a med
Bevis:
Med brøkreglen for differentiation fås
hvor første resultat fremkommer ved at dividere nævneren op i
tællerens to led,
mens andet resultat fremkommer ved at anvende idiotformlen på tælleren.