I en tabel over en lineær funktion (et førstegradspolynomium) ser vi, at der er konstante (funktions)tilvækster.
Eksempel: f(x) = 3x - 1
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| y | -1 | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 | 26 | |||||||||
| tilvækst | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
I en tabel over et andengradspolynomium ser vi, at der ikke er konstante funktionstilvækster
Eksempel: f(x) = x2
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |||||||||
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | |||||||||
| tilvækst | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | ||||||||||
| 2. ordens tilvækst |
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Alligevel er der system i tilvæksterne - de vokser hele tiden med 2. Vi kan nu tilføje en ekstra række, hvor stigning i tilvæksterne beregnes. Disse stigninger i tilvæksterne kalder vi for 2. ordens tilvækster, og vi ser, at dette andengradspolynomium har konstante 2.ordens tilvækster.
Det kunne nu være interessant at se, om alle andengradspolynomier har konstante 2. ordens tilvækster. Denne antagelse kan efterprøves ved en hård gang bogstavregning.
Vi skal så regne på andengradspolynomiet f(x) = ax2 + bx + c
| x | x | x+1 | x+2 | ||
| y | ax2 + bx + c | ax2 +2ax+a+bx+b+c | ax2 + 4ax+4a+bx+2b+c | ||
| tilvækst | 2ax+a+b | 2ax+3a+b | |||
| 2. ordens tilvækst |
2a |
I tabellen ovenfor fremkommer y-formlerne ved at indsætte tilsvarende x-formler i forskriften. Tilvæksterne fremkommer ved at trække forrige y fra denne y, og 2. ordens tilvæksterne fremkommer ved at trække forrige tilvækst fra denne tilvækst.
Det interessante er, at tilvæksterne ikke kommer an på x, og de er dermed konstante ! - og det gælder vel at mærke for alle andengradspolynomier. Vi har altså fået bevist følgende
Sætning: ethvert andengradspolynomium har konstante 2. ordens tilvækster.
Den kvikke læser har måske nu fået den idé, at trediegradspolynomier har konstante 3. ordens tilvækster. Det er skam rigtig nok, men unægtelig noget besværligt at bevise.
Endelig fortsætter systemet op gennem graderne og gælder tilsvarende for alle polynomier.
Systemet har forskellige "baglæns" anvendelser. Det kan for
eksempel bruges til at undersøge, om en forelagt tabel over x og y stammer fra
et andengradspolynomium. I så fald skal alle 2. ordens tilvæksterne være ens.
Svagheden ved denne metode er, at den ikke umiddelbart afslører forskriften
for det andengradspolynomium, som tabellen stammer fra.
Sætning: sinusfunktionen er ikke "bare" et polynomium
Som ovenfor kan man tillige vise, at sinusfunktionen ikke "bare" er et andengradspolynomium. Tag en sinustabel og udregn 2.ordenstilvækster - de bliver ikke ens.
| x | 0,0000 | 10,0000 | 20,0000 | 30,0000 | |||
| sin(x) | 0,0000 | 0,1736 | 0,3420 | 0,5000 | |||
| tilvækst | 0,1736 | 0,1684 | 0,1580 | ||||
| 2. Ordens tilvækst | -0,0053 | -0,0104 |
Tilsvarende kan man vise, at sinusfunktionen ikke "bare" er et trediegradspolynomium.
| x | 0,00 | 10,00 | 20,00 | 30,00 | 40,00 | ||||
| sin(x) | 0,0000 | 0,1736 | 0,3420 | 0,5000 | 0,6428 | ||||
| tilvækst | 0,1736 | 0,1684 | 0,1580 | 0,1428 | |||||
| 2. Ordens tilvækst | -0,0053 | -0,0104 | -0,0152 | ||||||
| 3. Ordens tilvækst | -0,0051 | -0,0048 |
Fremgangsmåden kan dog ikke benyttes til at vise, at sinusfunktionen
overhovedet ikke er noget polynomium, fordi vi aldrig kan blive færdige med at
udregne højere ordens tilvækster, når det ikke lykkes at finde en konstant
række.
Sinusfunktionen er overhovedet ikke noget polynomium - den er mere indvinklet. Beviset for dette resultat kræver (vist) kraftigere matematiske værktøjer, end vi har til rådighed her.