Parabel gennem tre kendte punkter

  1. Gennem to forskellige punkter går der en og kun en ret linje.
    Hvis punkterne har forskellige førstekoordinater og forskellige andenkoordinater, er denne linje graf for et førstegradspolynomium.
  2. Gennem tre forskellige punkter, som ikke ligger på linje, og som har forskellige førstekoordinater, går der en og kun en parabel.

Vi skal se et eksempel på, hvordan man finder denne parabels ligning - se også færdig formel

Eksempel: Lad der være givet punkterne (-1,-2), (0,3) og (2,1).
Vi søger den parabel
    y = ax2 +bx + c
som går igennem alle tre punkter.

At parablen går igennem alle tre punkter betyder, at alle tre punkter passer i parablens ligning. Vi får ved indsættelse følgende tre ligninger:

(1)    -2=a(-1)2+b(-1)+c
(2)    3=a×02+b×0+c
(3)    1=a×22+b×2+c

Ligningen (2) er bedst at starte med, fordi to af de ubekendte, a og b udgår.

(2)    3 = c

Den fundne værdi for c kan nu indsættes i de to øvrige ligninger

(1)    -5 = a - b
(3)    -2 = 4a + 2b

Vi skal nu af med nok en variabel. Det kan foregå ved at skaffe lige mange a'er - eller lige mange b'er - vi vælger at skaffe lige mange b'er ved at gange ligning (1) igennem med 2

(1)    -10 = 2a - 2b
(3)    -2 = 4a + 2b

Nu kan vi skaffe os af med b'erne ved at lægge de to ligninger sammen:

    -12 = 6a

og vi får let, at -2 = a.

Nu har vi tal på både a og c. Disse tal indsættes i en af ligningerne ovenfor, som indeholder b

(1)    -5 = -2 - b

og vi får let, at b = 3

Parablen gennem punkterne (-1,-2), (0,3) og (2,1) har derfor ligning

    y = -2x2 +3x + 3

Færdig formel for parabel gennem (x1,y1), (x2,y2) og (x3,y3), hvor x'erne er forskellige tal:

   

Formlen ovenfor er tung at håndtere i konkrete tilfælde, men den er til gengæld let at eftervise, fordi man let ser, at indsættelse af x = x1 i første brøk giver 1, mens øvrige to brøker giver 0.
Tilsvarende giver indsættelse af x = x2  nul i første og sidste brøk, men 1 i midterste brøk.
Endelig giver indsættelse af x = x3  nul i to første brøker og 1 i sidste brøk.
Det er også rimelig oplagt, at ligningens højreside giver et polynomium i x af grad højest 2.