Cosinusrelationen    c2 = a2 + b2 - 2a×b×cos(C)

Bevis, når ∠C er spids (C < 90°)

Højden fra B, h, deler trekant ABC i to retvinklede deltrekanter, ABF og BFC.
I trekant BFC kan vi bruge cosinus som defineret på C-niveau:

Heraf kan FC isoleres - brug musen.
AF udgør resten af siden b i trekant ABC. Dens længde er derfor b - FC. Derfor figurens betegnelser.

Nu kan vi anvende Pythagoras' sætning i hver af deltrekanterne

Trekant ABF:
 Trekant BFC:

Her skal h2 elimineres, fordi den ikke indgår som side i den oprindelige trekant, ABC. Det klares ved at isolere h2 i hver af de to ligninger ovenfor - brug musen - og dernæst sætte de to venstresider lig med hinanden:

Isolér nu c2. Parenteserne, som skal i anden, hæves ved at markere dem og splitte med pil op. Der kommer to ens led med modsat fortegn. De forsvinder, når du får placeret dem som naboer.
Du skulle gerne kunne få cosinus-relationen frem, som den står øverst på siden.

Bevis, når ∠C er stump (C > 90°)

Her falder højden uden for trekant ABC, men den danner stadig to retvinklede trekanter, ABF og BFC.
Problemet bliver her, at vinkel C i ABC ikke er den samme som vinkel C i BFC, vi kalder sidstnævnte for
    C1 = ÐBCF

Af C+C1 = 180° følger, at
    cos(C1) = -cos(C)
så
    CF = a×cos(C1) = - a×cos(C)
Når vi som ovenfor anvender Pythagos' sætning på trekant BFC, skal CF sættes i anden, og her bortfalder fortegnsforskellen.
    AF = AC+CF 
        = b + a×cos(C1) 
        = b - a×cos(C)
som i tilfældet ovenfor, hvor C er spids, og beregningerne i trekant ABF bliver helt magen til beregningerne ovenfor.

Sammenfatning

Hvis vinkel C er en ret vinkel (C = 90°), er cos(C) = 0, og i dette tilfælde udarter cosinusrelationen til Pythagoras' sætning. Derfor kaldes cosinusrelationen undertiden for den udvidede Pythagoras' sætning.

Uanset størrelsen af vinkel C, gælder cosinusrelationen åbenbart.
I argumentet ovenfor er vinkel C ikke valgt på forhånd ud fra specielle hensyn. Et tilsvarende argument kan derfor gennemføres med vinkel B eller vinkel A i C's rolle. Derfor kan vi producere nogle flere versioner af cosinusrelationen, som fremkommer ved bogstavrotation af versionen ovenfor. Det giver i alt tre versioner:


a2 = b2 + c2 - 2b×c×cos(A)
b2 = a2 + c2 - 2a×c×cos(B)
c2 = a2 + b2 - 2a×b×cos(C)