Gangereglen for differentiation: (f·g)' = f'·g + f·g'
Sætning:
Hvis funktionen f er differentiabel i x0 med differentialkvotient f'(x0),
d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
og hvis funktionen g er differentiabel i x0 med differentialkvotient
g'(x0), d.v.s.
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=g'(
x
0
)
så er funktionen f·g differentiabel i x0 med differentialkvotient
f'(x0)·g(x0) + f(x0)·g'(x0), d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)⋅g(
x
0
)+f(
x
0
)⋅g'(
x
0
)
Bevis: foregår ved hjælp af tretrinsreglen anvendt på funktionen f·g og kræver en
hjælpesætning,
som så skal bevises før og uden anvendelse af gangereglen for differentiation.
- Sekanthældningen bliver
f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(
x
0
)
x−
x
0
- Her er ikke nogle oplagte eller umiddelbare omskrivninger mulige, men et
trick viser sig at bære frugt:
tilføj størrelsen f(x0)·g(x), først med minus, så med plus.
Så har vi i hvert fald ikke ændret i slutresultatet.
f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(
x
0
)
x−
x
0
=
f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(x)+f(
x
0
)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(
x
0
)
x−
x
0
Nu kan g(x) sættes uden for parentes i de to forreste led, mens f(x0) kan sættes uden for parentes i de to bageste led
f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(x)+f(
x
0
)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(
x
0
)
x−
x
0
=
(
f(x)−f(
x
0
)
)⋅g(x)+f(
x
0
)⋅(
g(x)−g(
x
0
)
)
x−
x
0
Endelig kan vi dividere op og omarrangere, så brøkerne fra sætningens forudsætninger træder tydeligere frem
(
f(x)−f(
x
0
)
)⋅g(x)+f(
x
0
)⋅(
g(x)−g(
x
0
)
)
x−
x
0
=
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
⋅g(x)+f(
x
0
)⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
-
vis regler for grænseovergang
Nu kan vi lave grænseovergangen.
6 vis detaljeret argumentation
- Plus- og gangereglen for grænseovergang siger, at vi i sidstnævnte formel ovenfor kan lave grænseovergang ved at lade
plus- og gangetegn stå og så lave grænseovergang i hver af de resterende delene.
- Sætningens antagelser siger, at vi kan lave grænseovergang i hver af brøkerne.
- f(x0) er en konstant, som har sig selv som grænseværdi, mens
- g(x) har g(x0) som grænseværdi på grund af hjælpesætning,
som siger, at antagelsen om, at g er differentiabel, sikrer at grænseværdien
kan bestemmes ved indsættelse.
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
⋅g(x)+f(
x
0
)⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)⋅g(
x
0
)+f(
x
0
)⋅g'(
x
0