Differentiation af 1/x ved hjælp af tretrinsreglen
Sætning: f(x) = 1/x er differentiabel i x0 med differentialkvotient
f'(
x
0
)=
−1
x
0
2
Bevis:
- Sekanthældningen bliver
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=
1
x
−
1
x
0
x−
x
0
- Ved at forlænge med småbrøkers fællesnævner, xx0, fås
1
x
−
1
x
0
x−
x
0
=
(
1
x
−
1
x
0
)⋅x⋅
x
0
(
x−
x
0
)⋅x⋅
x
0
=
x
0
−x
(
x−
x
0
)⋅x⋅
x
0
Efter tvunget dobbelt fortegnsskift i tælleren kan brøken forkortes
x
0
−x
(
x−
x
0
)⋅x⋅
x
0
=
−(
x−
x
0
)
(
x−
x
0
)⋅x⋅
x
0
=
−1
x⋅
x
0
- Nu kan grænseovergangen gennemføres
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=
−1
x
0
⋅
x
0
=
−1
x
0
2
Hermed er sætningen bevist.