Hjælpesætning: differentiabel Þ kontinuert
En funktion, f, som er differentiabel i x0, d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
bliver automatisk kontinuert i x0, d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)=f(
x
0
)
Bevis: efter oversættelse til formelsprog handler sætningen om
grænseovergange, og skal derfor bevises under henvisning til regler om
grænseovergange.
Udgangspunktet er, at
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
og vores opgave er at få f(x) til at stå alene efter "lim".
Teknikken er sammenlignelig med teknikken for løsning af ligninger.
Først ganger vi med nævneren for at få den væk, og ser, hvad der sker
lim
x→
x
0
(
f(x)−f(
x
0
)
)=
lim
x→
x
0
(
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
⋅(
x−
x
0
)
)=f'(
x
0
)⋅0
6 vis detaljeret argumentation
Start med midterste formel.
Lighedstegnet over mod forreste formel begrundes med, at hele indmaden i midterformlen kan forkortes.
Lighedstegnet over mod bageste formel begrundes med en masse regler for grænseovergang:
Gangereglen for grænseovergang siger, at gangetegnet kan blive stående.
Hjælpesætningens antagelse siger, at brøken har f'(x0) som grænseværdi.
x-x0 har x0-x0 = 0 som grænseværdi på grund af:
minusreglen for grænseværdi,
konstantreglen for grænseværdi (en konstant har sig selv som grænseværdi), og
reglen for grænseværdi af x (har x0 som grænseværdi).
Nu har vi, at
lim
x→
x
0
(
f(x)−f(
x
0
)
)=0
og nu skal vi plusse med f(x0) for at få den væk
lim
x→
x
0
f(x)=
lim
x→
x
0
(
(
f(x)−f(
x
0
)
)+f(
x
0
)
)=0+f(
x
0
)
6
vis detaljeret argumentation
Start igen i den midterste formel.
Omskrivningen mod venstre fremkommer ved at reducere indmaden, mens
omskrivningen mod højre fremkommer ved at bruge regler for grænseovergang:
plusreglen siger, at plustegnet bliver stående.
resultatet ovenfor siger, at f(x)-f(x0) har 0 som grænseværdi.
Konstantreglen siger, at f(x0) har sig selv som grænseværdi.
Nu har vi, at
lim
x→
x
0
f(x)=f(
x
0
)
og det var det, vi skulle vise.