Differentiation af lineær funktion ved hjælp af tretrinsreglen
Sætning: f(x) = ax+b er differentiabel i x0 med differentialkvotient
f'(x0) = a
Bevis:
- Sekanthældningen bliver
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=
ax+b−(a
x
0
+b)
x−
x
0
- Nu kan parentesen i tælleren hæves og a sættes uden for parentes.
Herefter forkortes
ax+b−(a
x
0
+b)
x−
x
0
=
ax−a
x
0
x−
x
0
=
a(
x−
x
0
)
x−
x
0
=a
- Nu kan grænseovergangen gennemføres
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=a
da en konstant, a, har sig selv som grænseværdi.
Det er i øvrigt ikke overraskende, at en lineær funktion har sig selv som
tangent i alle punkter, og derfor har sin egen konstante hældning som
differentialkvotient i alle punkter.