Minusreglen for differentiation: (f-g)' = f' - g'
Sætning:
Hvis funktionen f er differentiabel i x0 med differentialkvotient f'(x0),
d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
og hvis funktionen g er differentiabel i x0 med differentialkvotient
g'(x0), d.v.s.
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=g'(
x
0
)
så er funktionen f-g differentiabel i x0 med differentialkvotient
f'(x0)-g'(x0), d.v.s.
Bevis: foregår ved hjælp af tretrinsreglen, som anvendes på funktionen f-g under inddragelse af sætningens antagelser.
- Sekanthældningen bliver
f(x)−g(x)−(
f(
x
0
)−g(
x
0
)
)
x−
x
0
=
(
f(x)−f(
x
0
)
)−(
g(x)−g(
x
0
)
)
x−
x
0
hvor i første omgang parentesen er hævet og led med f og led med g er blevet samlet.
Den første parentes i sidste tæller er overflødig.
- Så divideres nævneren op for at nå frem til nogle brøker, som vi kan lave grænseovergang i ifølge sætningens antagelser
(
f(x)−f(
x
0
)
)−(
g(x)−g(
x
0
)
)
x−
x
0
=
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
−
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
-
vis regler for grænseovergang
Nu kan vi lave grænseovergangen.
Minusreglen for grænseovergang siger, at vi i sidstnævnte formel ovenfor kan lave grænseovergang ved at lade minustegnet stå og så lave grænseovergang i hver af delene.
Sætningens antagelser siger, at vi kan lave grænseovergang i hver af delene, så nu lykkes det hele sådan
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
−
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)−g'(
x
0
)