Differentiation af sammensat funktion: (fog)'
= (f'og)·g'
Sætning:
Hvis funktionen g er differentiabel i x0 med differentialkvotient g'(x0),
d.v.s.
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=g'(
x
0
)
og hvis funktionen f er differentiabel i u0=g(x0) med
differentialkvotient f'(u0), d.v.s.
lim
u→
u
0
f(u)−f(
u
0
)
u−
u
0
=f'(
u
0
) , u=g(x)
så er funktionen fog differentiabel
i x0 med differentialkvotient f'(g(x0))·g'(x0)
, d.v.s.
lim
x→
x
0
f(
g(x)
)−f(
g(
x
0
)
)
x−
x
0
=f'(
g(
x
0
)
)⋅g'(
x
0
)
Kommentar: ovenstående resultat ser gevaldigt mere naturligt ud, når
det formuleres i engelsk tradition:
u=g(x), y=f(u)=f(g(x))
dy
dx
=
dy
du
⋅
du
dx
Bevis: bør snarere kaldes en bevisskitse, fordi det efterlader nogle
problemer om, hvorvidt de indgående formler er definerede i tilstrækkeligt
omfang til at gennemføre den sidste grænseovergang.
Da vi ikke er klædt på til dybere argumenter med grænseværdi, overspringes
disse problemer i gymnasialt pensum.
Vi skal anvende tretrinsreglen på funktionen fog.
- Sekanthældningen bliver
f(
g(x)
)−f(
g(
x
0
)
)
x−
x
0
- Vi kan nu forlænge med g(x)-g(x0) og vi får
f(
g(x)
)−f(
g(
x
0
)
)
x−
x
0
=
f(
g(x)
)−f(
g(
x
0
)
)
g(x)−g(
x
0
)
⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
I forreste brøk kan vi erstatte g(x) med u og g(x0) med u0 og vi får
f(
g(x)
)−f(
g(
x
0
)
)
g(x)−g(
x
0
)
⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=
f(u)−f(
u
0
)
u−
u
0
⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
- Herefter kan vi gennemføre grænseovergangen ved at bemærke, at x®x0 indebærer, at
u®u0.
lim
x→
x
0
f(u)−f(
u
0
)
u−
u
0
⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=(
lim
u→
u
0
f(u)−f(
u
0
)
u−
u
0
)⋅(
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
)
=f'(
u
0
)⋅g'(
x
0
)
=f'(
g(
x
0
)
)⋅g'(
x
0
)