Differentiation af
x
ved hjælp af tretrinsreglen
Sætning: f(x) =
x
er differentiabel i x0 > 0 med differentialkvotient
f'(
x
0
)=
1
2
x
0
,
x
0
>0
Bevis:
- Sekanthældningen bliver
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=
x
−
x
0
x−
x
0
- Efter forlængning med
x
+
x
0
kan brøken forkortes
x
−
x
0
x−
x
0
=
(
x
−
x
0
)⋅(
x
+
x
0
)
(
x−
x
0
)⋅(
x
+
x
0
)
=
x−
x
0
(
x−
x
0
)⋅(
x
+
x
0
)
=
1
x
+
x
0
- Nu kan grænseovergangen gennemføres
lim
x→
x
0
x
−
x
0
x−
x
0
=
1
x
0
+
x
0
=
1
2
x
0
Hermed er sætningen bevist.
BEMÆRK, at kvadratrodsfunktionen ikke er differentiabel i x0 = 0.
Det hænger sammen med, at kvadratrodsfunktionen her har lodret tangent, der
ikke har nogen hældning.