Plusreglen for differentiation: (f+g)' = f' + g'
Sætning:
Hvis funktionen f er differentiabel i x0 med differentialkvotient f'(x0),
og hvis funktionen g er differentiabel i x0 med differentialkvotient
g'(x0),
så er funktionen f+g differentiabel i x0 med differentialkvotient
f'(x0)+g'(x0)
Bevis: foregår ved hjælp af tretrinsreglen.
Sætningens prosa skal først oversættes til formelsprog.
Her antages det, at f og g begge er differentiable i x0.
Vi kan derfor uden yderligere argumentation og med henvisning til definitionen
af differentialkvotient bruge, at
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
og at
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=g'(
x
0
)
Til gengæld skal vi nu vise, det vil sige argumentere for,
sætningens påstand, nemlig at plusfunktionen f+g så bliver differentiabel i x0.
Det foregår med tretrinsreglen anvendt på funktionen f+g under inddragelse af sætningens antagelser.
- Sekanthældningen bliver
f(x)+g(x)−(
f(
x
0
)+g(
x
0
)
)
x−
x
0
=
f(x)−f(
x
0
)+g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
hvor i første omgang parentesen er hævet og led med f og led med g er blevet samlet
- Så divideres nævneren op for at nå frem til nogle brøker, som vi kan lave grænseovergang i ifølge sætningens antagelser
f(x)−f(
x
0
)+g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
+
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
-
vis regler for grænseovergang
Nu kan vi lave grænseovergangen.
Plusreglen for grænseovergang siger, at vi i sidstnævnte formel ovenfor kan lave grænseovergang ved at lade plustegnet stå og så lave grænseovergang i hver af delene.
Sætningens antagelser siger, at vi kan lave grænseovergang i hver af delene, så nu lykkes det hele sådan
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
+
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)+g'(
x
0
)