Faktorisering af andengradspolynomier

Sætning: Et andengradspolynomium
    ax² + bx + c
som har rødder
   
hvor d = b² - 4ac > 0, kan omskrives på følgende måde
    ax² + bx + c = a(x - r)(x - s)

Denne omskrivning gælder for alle x, og den kaldes en faktorisering af andengradspolynomiet (faktor = én man ganger med - faktorisering = omskrivning til gangeform).

Beviset: kræver ingen smarte tricks - formlerne for r og s indsættes blot i højresiden, og så regner vi los. Vi skal så gerne slutte med venstresiden.
   
Besværligt - men ingenlunde genialt bevis.

Hvis d=0, har andengradspolynomiet kun én rod, og omskrivningen ovenfor kan ikke umiddelbart anvendes - i dette tilfælde gælder dog følgende, ikke særlig overraskende resultat:

    ax² + bx + c = a(x - r)²

hvor r er roden. En sådan rod kaldes derfor en dobbeltrod. I dette tilfælde er faktorisering altså også mulig.

Hvis d < 0, har andengradspolynomiet ingen rødder, og i dette tilfælde er faktorisering ikke mulig.

Beviser for påstandene i de to sidste tilfælde overlades til kvikke læsere.