• saldoopgørelse
• gældsformlen
• opgaver
• bevis for gældsformlen

Gældsformlen kan bruges i en situation, hvor en gæld afvikles med lige store ydelser hver termin, første ydelse forfalder 1 termin efter gældens stiftelse, med rentetilskrivninger samtidig med ydelserne og med uændret rente. En sådan afvikling kaldes for et annuitetslån. I praksis forekommer andre lånetyper, men de falder uden for HF fællesfagspensum.

Saldoopgørelse

Nedenfor er vist, hvordan et lån på 2000 kr afvikles med årlige ydelser på 555 kr når den årlige rente er på 12%.

Den sidste ydelse vil i praksis blive nedsat til 553.85 kr.

Gældsformlen

Isolér y med musen ovenfor. Det er også muligt at isolere n.
Bemærk: det er ikke muligt at isolere r. Det skyldes ikke en programfejl, for problemet ligger dybere i matematikken.

Opgaver

1. ukendt startgæld a) Hvor mange penge kan du låne, når du kan afbetaler med 400 kr hver måned over 24 måneder, og når den månedlige rente er på 2% ? b) Hvor mange penge betaler du faktisk alt i alt for dette lån ? c) Hvor mange af disse kr går så til renter alt i alt ? - dette beløb kaldes for låneomkostningerne.	Med y=400,r=0.02,n=24 fås G=7565.57 kr  24×400 kr = 9600 kr  9600 kr - 7565.57 kr = 2034.43 kr
2. ukendt ydelse Du skal bruge 10000 kr til en PC og din bank tilbyder lån over 36 måneder med 1% i månedlig rente. Hvor meget kommer du til at betale hver måned ? Efter et års tid vil du helt sikkert være ked af dit PC lån. Hvorfor ?	Fordi din brugte PC er mindre værd end det, du stadig skylder på lånet.
3. ukendt antal terminer En studiegæld på 50000 kr afvikles med månedlige ydelser på 500 kr. Vil den være færdigbetalt inden for 10 år, når den månedlige rente er på 0.5% ?	Ved at indsætte y=500, r=0.005, n=120 i gældsformlen fås G=45036.73, så disse ydelser er ikke stærke nok til at færdigbetale 50000 kr. Svaret bliver NEJ.
4. ukendt rente a) (fortsættelse af opgave 2). Nabobanken tilbyder dig at låne de 10000 kr over 24 måneder med 480 kr i månedlig ydelse. Er nabobanken billigere med sin rente ? b) Hvor er låneomkostningerne størst målt i kr, hos banken fra opgave 2 eller hos nabobanken ?	Ved at indsætte y=480, r=0.01, n=24 i gældsformlen fås G=10196.83 kr. Nabobanken vil nu udlåne mindre for samme ydelser, så dens rente må være større, og svaret bliver NEJ.  36×332.14 kr = 11957.04 kr, mens 24*480 kr = 11520 kr, så låneomkostningerne bliver størst hos banken fra opgave 2.
5. flere formler En TV forhandler tilbyder køb på afbetaling med forsinket betaling: køb 1/1-1999 for 10000 kr, betal første gang 1/5-1999, betal over 24 måneder, renten pr måned er 1 %. Hvor stor bliver den månedlige ydelse ?	De første måneder afvikles gælden ikke - den vokser så med kapitalvækstformlen: 10000×1.013 = 10303.01 kr. Så skal gælden afvikles. Gældsformlen forudsætter startgælden opgjort 1 termin før første ydelse, derfor de 3 ovenfor. Med G=10303.1, r=0.01, n=24 fås y = 485.00 kr
6. studielån En studerende låner 1500 kr hver måned i 3 år (36 gange) første gang 1/8-1999, sidste gang 1/7-2002. Renten er på 0.8% pr måned i studietiden. Hvor stor er studiegælden pr 1/7-2002 ? Første betaling skal først ske den 1/8-2003. Herefter afviklens gælden med lige store månedlige ydelser over 5 år. Renten pr måned er 1.2% efter studietiden. Hvor stor bliver den månedlige ydelse ?	Gælden afvikles ikke i denne periode. SU udbetaler løbende og skal have pengene forrentet. SU's tilgodehavende kan udregnes med opsparingsformlen: y=1500, r=0.008, n=36, A=62293.09 kr   I perioden lige efter studiets afslutning vokser gælden med kapitalvækstformlen. Gælden skal opgøres 1 måned før første indbetaling af hensyn til afviklingen: 62293.09×1.01212=71879.67 kr. Herefter afvikles med gældsformlen, y=1687.46 kr

Bevis for gældsformlen

BEMÆRK: beviser på fællesfaget er mest for kursister, som overvejer at fortsætte på tilvalg. Her skal beviserne kunnes til mundtlig eksamen. På fællesfaget forventes beviser kun af kursister, som satser på topkarakterer til mundtlig eksamen.

For det første er der to parter i en gældsafvikling: udlåner og låntager. De skal blive enige om rente og løbetid og lånebeløbets størrelse, før låneaftalen kan indgås.
Herefter er det udlåners interesse at få sine penge hjem inklusive renter og renters renter. Hvis udlåner havde placeret sine penge på en bankkonto med samme rente som aftalt, ville udlåners tilgodehavende for enden af løbetiden kunne beregnes med kapitalvækstformlen:
  
Samtidig er det låntagers interesse at få sine indbetalinger løbende forrentet med den aftalte rente. Hvis låntager indbetalte sine penge til en spærret bankkonto med denne rente, ville den samlede værdi af indbetalingerne kunne udregnes med opsparingsformlen:
  
Retfærdigvis skal disse to beløb balancere, når løbetiden er gået, og når vi sætter lighedstegn mellem dem fremkommer gældsformlen
  
- dog endnu ikke i en særlig brugervenlig form, fordi denne ligning endnu ikke har én variabel isoleret. Resten er rå matematik. Dividér igennem med (1+r)ⁿ og få
  
Forkort nu brøken med (1+r)ⁿ og få
  
og det er netop gældsformlen !