Når man ikke kan regne med krumme objekter
må man tilnærme med lige objekter.
Kunsten er, at gå så tæt på grænsen,
at tilnærmelserne bliver eksakte

Infinitesimalregning betyder regning med uendeligt små størrelser.

Det lyder umiddelbart håbløst, og har i historisk lys voldt store problemer.

Oldgrækeren Zenon lavede følgende tankeeksperiment:
Lad hurtigløberen Achilleus løbe om kap med en skildpadde.
Skildpadden skal retfærdigvis have et forspring.
I oldtiden snød skildpadderne ikke ved den slags arrangementer.

  1. Der går en vis tid, t1, før Achilleus halverer skildpaddens forspring.
  2. Der går en vis tid, t2, før Achilleus nok engang halverer skildpaddens. forspring.
  3. Og sådan kan man argumentere videre lige så længe, det skal være.

Den samlede tid, før Achilleus indhenter skildpadden, kan så skrives som
    t1 + t2 + ...
- en uendelig sum af endelige tidsrum. Og derfor kan Achilleus ikke indhente skildpadden.

Nu ved enhver jo, at skildpadden bliver indhentet af Achilleus, men Zenons pointe med denne historie er, at der åbenbart er kludder med logikken eller med matematikken, men han var ikke i stand til at afklare dette problem.

Der skulle gå et par tusinde år, inden det lykkedes i matematisk forstand at gribe uendeligheden og få den lukket af som et eksakt begreb.

Herefter kan man bare regne ud, hvor længe det varer Achilleus at indhente skildpadden, også selv om man bruger Zenons opdeling af forløbet.

Med infinitesimalregningen bliver det muligt at definere og regne med krumme objekters hældning, længde, areal o.s.v. Tricket er at tilnærme vilkårligt fint med lige objekter, som vi faktisk kan regne på.