Grænseværdi
    Mangler: Microsoft Office Web Components
 
Denne side kræver Microsoft Office Web Components.

Klik her for at installere Microsoft Office Web Components..

Denne side kræver Microsoft Internet Explorer version 4.01 (SP1) eller nyere.

Klik her for at installere den nyeste version af Internet Explorer.
 

Figuren til venstre viser grafen for funktionen f(x)= x−1 x −1
Ved indsættelse af x=1 giver tæller nul og nævner nul.
f(1) er åbenbart ikke defineret, og vi kan ikke få beregnet "hullets" y-værdi ved bare at indsætte i funktionen.
Funktionen "kender" ikke sit hul, fordi hullet ikke er med i funktionens graf.

Vi vil dog gerne have funktionen til at fortælle os om hullets placering alligevel.
Det kan vi gøre ved at nærme os hullet fra højre og fra venstre.
Prøv at trække i skyderen under grafen. Hvis du kan ramme x-værdien 1, så forsvinder de røde aflæsningsmarkeringer. Funktionen er stadigvæk ikke defineret i 1.
Her vises en række aflæsninger af y-værdier, som faktisk er med på f-grafen. Hvis rækken af alle disse y-værdier kun levner plads til én y-værdi, som ikke kommer med, så kaldes denne ene y-værdi for funktionens grænseværdi for x gående mod 1.
Denne grænseværdi er hullets y-værdi. Vi skriver lim⁡ x→1 x−1 x −1 =2 som læses: funktionen har grænseværdi 2 for x gående mod 1.

Hvis vi lader x gå imod et andet tal, f. eks. 2, så er f defineret i 2.
Alligevel vil den proces, som beskrives ovenfor med at foretage aflæsninger før og efter 2 og notere sig, om der er en entydigt bestemt y-værdi, der mangler, føre til et resultat, nemlig funktionsværdien i 2.

En funktions grænseværdi er typisk lig med funktionsværdien, men der kan eksistere en grænseværdi, selv om der ikke eksisterer en funktionsværdi.

Beskrivelsen ovenfor af grænseværdi er ikke præcis nok til at kunne fungere til at bevise sætninger med.
En egentlig definition af grænseværdi kræver mere end gymnasialt pensum inden for områderne: matematisk logik, numerisk værdi og uligheder, men ser i øvrigt sådan ud:

Definition
funktionen f har grænseværdi y0 for x gående imod x0 hvis og kun hvis ∀ε>0∃δ>0:0<| x− x 0 |<δ⇒| f(x)− y 0 |<ε

Du forventes ikke at få mening i denne definition, og du forventes derfor heller ikke at kunne redegøre for beviser for sætninger om grænseværdi.

I de følgende afsnit angives en række sætninger om grænseværdi uden bevis. De skal bruges, når du skal beskæftige dig med differentialkvotienter.