Kontinuitet

Eksempel Lad der være givet funktionen f(x) = 2x²+4x-5
Vi vil bestemme dens grænseværdi for x gående mod 3 ved hjælp af reglerne fra forrige afsnit

Ved anvendelse af plus- og minusreglen fås lim⁡ x→3 ( 2 x 2 +4x−5 )= lim⁡ x→3 ( 2 x 2 )+ lim⁡ x→3 ( 4x )− lim⁡ x→3 5

Ved anvendelse af gange- og konstantreglen fås = lim⁡ x→3 ( 2 )⋅ lim⁡ x→3 ( x 2 )+ lim⁡ x→3 ( 4 )⋅ lim⁡ x→3 ( x )−5

Ved anvendelse af konstant- og x-alene-reglen fås =2⋅ lim⁡ x→3 ( x 2 )+4⋅3−5

Da x² kan skrives som x·x kan vi nu bruge først gangereglen, så x-alene-reglen =2⋅ lim⁡ x→3 ( x )⋅ lim⁡ x→3 ( x )+4⋅3−5 =2⋅3⋅3+4⋅3−5

med andre ord: grænseværdien ender med at blive lig med funktionsværdien, f(3). Vi siger så, at funktionen er kontinuert i 3.

Dette er en ganske normal opførsel, som gælder for rigtig mange funktioner.

Definition en funktion f kaldes kontinuert i et tal, x₀ , når den har en grænseværdi i x₀, som er lig med funktionsværdien i x₀.
Hvis omvendt vi ved om en funktion at den er kontinuert i x₀, så kan vi finde dens grænseværdi i x₀ ved blot at indsætte x₀ i forskriften.

En funktion, som er kontinuert i alle de x-værdier, hvor den er defineret, kaldes slet og ret kontinuert.

Næsten alle funktioner med forskrift, som ikke er en gaffelforskrift, er kontinuerte i næsten alle x-værdier.