Bestemmelse af grænseværdi ved hjælp af omskrivning

Sætning

Hvis f er defineret for alle x≠x₀
og hvis f(x) = g(x) for alle x≠x₀
hvor g er en omskrivning som er kontinuert i x₀
så er lim⁡ x→ x 0 f(x)=g( x 0 )

Med andre ord: Hvis en funktion, f, som ikke er defineret i x₀, kan omskrives til en pæn (kontinuert) funktion g, som er defineret i x₀, så kan grænseværdien for f bestemmes ved at indsætte i den omskrevne, g.

Anvendelse

Betragt funktionen f(x)= 2 x 2 −3x+1 x−1

Nævneren bliver 0, når x=1, og her er funktionen åbenbart ikke defineret. Ved indsættelse af x= 1 i tælleren ses, at 1 også er nulpunkt i tælleren.
Divisionen tæller:nævner skal derfor gå op, vi får 2 x 2 −3x+1 x−1 =2x−1 Den oprindelige f-formel og den omskrevne formel giver samme y-værdier for alle x på nær x-værdien 1, hvor f ikke er defineret, og hvor den omskrevne formel er defineret.

Vi kan så bruge den omskrevne formel til at finde grænseværdi i 1 lim⁡ x→1 2 x 2 −3x+1 x−1 =2⋅1−1=1 og f-grafen er åbenbart linjen med ligning y = 2x - 1, dog med "hul" i punktet (1,1).