Beviser om funktioner med forskrift:   y = a∙x + b

Sætning om skæring med y-aksen:

En funktion med forskrift   y = a∙x + b   har graf,
som skærer y-aksen i b.

bevis:

Uanset forskriftens form kan vi beregne skæring med y-aksen ved at indsætte x=0
(som jo gælder på hele y-aksen),
I vores tilfælde, y = a∙x + b, får vi
   y = a∙0 + b = 0 + b = b
og det var det, vi skulle vise.

Sætning om hældningskoefficienten:

Hvis punkterne   (x1,y1)   og   (x2,y2)
ligger på grafen for en funktion med forskrift   y = a∙x + b,
så kan konstanten a beregnes med formlen
   a= y 2 y 1 x 2 x 1

bevis:

Når punkterne ligger på grafen, skal deres koordinater passe i forskriften.
Vi indsætter og får
   (x2,y2) indsat:   y2 = a∙x2 + b
   (x1,y1) indsat:   y1 = a∙x1 + b
Idéen er nu, at vi kan erstatte y2 med a∙x2 + b, og vi kan erstatte y1 med a∙x1 + b
i sætningens brøk, reducere resultatet og nå frem til konstanten a:
y 2 y 1 x 2 x 1 = a x 2 +b(a x 1 +b) x 2 x 1 = a x 2 +ba x 1 b x 2 x 1 = a x 2 a x 1 x 2 x 1 = a( x 2 x 1 ) x 2 x 1 =a
Vi har så hævet minusparentes, b'erne går ud, a kan sættes uden for parentes og så kan vi forkorte.

Kommentar:
hældningsformlens tæller, y2- y1,  måler stigning i y,
mens hældningsformlens nævner, x2 - x1, måler stigning i x.
Når hældningen nu kan beregnes som
  a= stigning i y stigning i x
så måler hældningen åbenbart "stigning i y" pr "enhed på x".

Hvis for eksempel y betyder "løn" og x betyder "år",
så måler hældningen "lønstigning pr år"