Eksempel:
En elektromotor fungerer på den måde, at den omdanner elektrisk energi, som tilføres i den ene ende, til motorkraft, som kommer ud i den anden ende i form af en roterende akse.
Motorens funktion kan vendes om - for eksempel i en vindmølle - hvor aksen drejes aktivt rundt af vinden som indgangskraft, og i så fald kan man tappe elektricitet ud af den anden ende.
Samme maskine har altså forskellig nyttevirkning, alt efter om man tilfører elektrisk energi eller om man tilfører rotationsenergi.
For (nogle) funktioner kan man indføre en tilsvarende beskrivelse.
I ligningen y = f(x) er y isoleret,
og vi siger at ligningen definerer y som funktion af x. Hvis nu x kan isoleres entydigt
(se tillige nedenfor)
y = f(x) Û f-1(y) = x
så vil ligningen tillige definere x som funktion af y. Denne funktion kaldes
den omvendte funktion til f, og den betegnes f-1.
Eksempel:
Ligningen y = 2x - 3 definerer y
som funktion af x. Idet vi kalder denne funktion f, har vi,
at
I ligningen kan vi isolere x. Herved fremkommer en ligning med samme betydning,
blot er x's og y's roller byttet om.
I den anden form, hvori x er isoleret, definerer ligningen x som funktion
af y. Denne funktion er nu omvendt funktion til f, og den betegnes f-1.
Den har forskriften
I funktionssprog kan vi sige, at f(4) = 5
og vi kan også sige, at f-1(5) = 4
Den omvendte funktion vender med andre ord retningen, ikke sammenhængen.
Eksempel:
Ligningen y = x2 definerer
y som funktion af x,
f(x) = x2
I denne ligning kan vi (i hvert fald
for ikke-negative værdier af y) isolere x sådan
Her kan vi ikke isolere x entydigt, så vi kan godt nok vende
roller, men i omvendte roller får vi ikke nogen funktion, fordi
funktioner skal definere den afhængige variabel entydigt som funktion af den
uafhængige variabel.
En funktion, f, kaldes injektiv, hvis ligningen
y = f(x)
højest har én løsning.
For y-værdier, som ikke tilhører værdimængden, Vm(f), kræves naturligvis ikke, at ligningen har løsninger, men for y-værdier, som tilhører værdimængden, må der så ikke være mere end én løsning.
En injektiv funktion har altid en omvendt funktion, fordi
injektivitetsdefinitionen netop forhindrer flertydighed i omvendingen.
Eksempel:
Funktionen f(x) = x2
, x≥0
er injektiv, fordi ligningen y = x2 løses
entydigt på grund af begrænsningerne i x:
her kan minusset foran kvadratrodstegnet ikke bruges, da x er forudsat
ikke-negativ. Denne begrænsede version af x2-funktionen har
altså en omvendt funktion, som er kvadratrodsfunktionen.
Omvending på lommeregnere
På nogle lommeregnere er kvadratrodsfunktionen markeret over x2-funktion og den aktiveres ved først at taste INV, som er en forkortelse for invers, som er den internationale betegnelse for omvendt. Omvendt funktion og invers funktion er altså det samme.
På grafregneren TI83 skal man i stedet for taste 2nd først. Det er kun standardfunktionerne, som kan vendes om på denne måde. Bemærk for eksempel, at der over knappen SIN står SIN-1, som "regner tilbage til vinklen", når dens sinus er kendt.
Omvending med tabel
kræver intet ekstraarbejde, blot skal x og y bytte roller, og det tydeliggøres bedst ved at tilføje ekstra indgange i den anden ende.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | f-1(y) |
| f(x) = x2 | 0 | 1 | 4 | 9 | y |
Omvending med graf
er mere kompliceret, hvis grafen foreligger på almindeligt (millimeter)papir. Det, der skal ske, er, at x og y skal bytte roller. Det vil sige, at y-aksen skal bringes til at pege vandret mod højre, mens x-aksen skal bringes til at pege lodret opad, fordi y er uafhængig variabel for den omvendte funktion, og en funktions uafhængige variabel skal afsættes vandret, når man tegner grafen.
På gennemsigtigt millemeterpapir kan det klares simpelt ved at vende papir om, så bagsiden vender opad. Denne proces illustreres på animationen.
Højreklik på grafen og vælg Play. Når den er færdig, ser du på grafen for f-1.
Så vender papiret bagsiden frem og roterer, så x- og y-akserne vender som de skal.
På almindeligt papir (som ikke er gennemsigtigt) er det enkleste at konstruere den omvendte graf ved hjælp af et sildeben, som eventuelt må aflæses først.