• saldoopgørelse
• opsparingsformlen
• opgaver
• bevis for opsparingsformlen

På siden om kapitalvækst behandlede vi en bankkonto, hvor der hverken blev indsat eller hævet, og hvor renten var uændret.
På denne side skal vi behandle en konto, hvor renten stadig er uændret, men hvor der indsættes et fast valgt beløb, hver gang der tilskrives renter. En sådan opsparing kaldes for en annuitetsopsparing. Vi tager først et taleksempel:

Saldoopgørelse

Eksempel På en konto indsættes der hvert år 1000 kr. På kontoen tilskrives der samtidig (hvert år) 2% rente.

	år      bevægelse      beløb             saldo     
	0       indsat         1000.00 kr        1000.00 kr
	1       + renter         20.00 kr        1020.00 kr
	        indsat         1000.00 kr        2020.00 kr
	2       + renter         40.40 kr        2060.40 kr
	        indsat         1000.00 kr        3060.40 kr
	3       + renter         61.21 kr        3121.61 kr
	        indsat         1000.00 kr        4121.61 kr            

Opsparingsformlen

Isolér b med musen ovenfor. Det er også muligt at isolere n.
Bemærk: det er ikke muligt at isolere r. Det skyldes ikke en programfejl, for problemet ligger dybere i matematikken.

Opgaver

1. På en pensionsopsparing indbetales 500 kr hver måned. Pensionskassen forrenter pengene med 1.385% månedligt. Hvor mange penge står der på kontoen efter 25 år ?	Med b=500,r=0.01385,n=25×12+1 fås A=2231703.28
2. På skal på 2 år spare op til en ferie, som koster 20000 kr. Din bank vil give 0.35% i månedlig rente. Hvor meget skal du indbetale hver måned ? (24 indbetalinger)
3. På en børneopsparing indsættes 1000 kr hvert kvartal. Kvartalsrenten er på 1.1%. Kan kontoen nå op på 50000 kr på 10 år ?	Med b=1000, r=0.011, n=40 fås A=49907.40, så svaret er NEJ. Med n=41 fås A=51456.39, og med denne fortolkning bliver svaret JA
4. Hovedbanken giver 1% i rente pr kvartal på langsigtede opsparinger. a) Hvor meget kan du spare op på 5 år når du indbetaler 600 kr hvert kvartal ? b) Omregn kvartalsrenten på 1% til en månedlig rente. c) I Provinsbanken kan du spare 14000 kr op ved at indbetale 200 kr hver måned i 5 år. Er renten i Provinsbanken højere end renten i Hovedbanken ?	Med b=600, r=0.01, n=21 fås A=13943.52  (1+r)3 = 1.01 giver r = 0.3322%  Hvis Provinsbanken brugte Hovedbankens rente, ville du her kunne opspare 13499.38 kr. Da dette beløb er lavere end 14000 kr, må Provinsbanken have højest rente, og svaret bliver JA.
5. En studerende låner via SU 1500 kr hver måned over en 3-årig periode. Lånerenten er på 0.5% månedlig. a) Hvor mange penge skylder han i studielån umiddelbart efter den sideste udbetaling ? (regn med 36 udbetalinger). b) Hvor mange af disse penge har han faktisk fået udbetalt ? c) Hvor mange kr er der samlet løbet på i renter ?	Vink:  Se sagen fra SU's synsvinkel. SU sparer op hos den studerende - de skal jo have pengene hjem igen - med renter.  Samlet studiegæld: 59004.15 kr  1500 kr × 36 = 54000 kr  59004.15 - 54000 = 5004.15
6. På en opsparingskonto med årlig rente på 3% indbetales 2000 kr årligt, første gang 1/1-2000. a) Hvor mange kr står der på kontoen umiddelbart efter indbetalingen 1/1-2007 ? b) Herefter indbetales der ikke flere penge på kontoen, den står bare og trækker renter frem til 1/1-2010. Hvor mange kr står der så på kontoen ?	Med opsparingsformlen, b=2000, r=0.03, n=8 fås A=17784.67  Med kapitalvækstformlen, K0=17784.67, r=0.03, n=3 fås K=19433.79

Bevis for opsparingsformlen

BEMÆRK: beviser på fællesfaget er mest for kursister, som overvejer at fortsætte på tilvalg. Her skal beviserne kunnes til mundtlig eksamen. På fællesfaget forventes beviser kun af kursister, som satser på topkarakterer til mundtlig eksamen.

Vi skal nå frem til en formel, som i ét hug kan regne mange år frem. Vi vil for overskuelighedens skyld bruge tallene fra eksemplet ovenfor, men vi vil i dette afsnit ikke regne resultaterne ud efterhånden - som i eksemplet - men beholde mellemresultaterne på formelform. På den måde bliver det lettere at se det generelle mønster. Vi får også brug for et snedigt trick, sådan er det ofte i matematik.

år	saldo
0	  1000
1	  1000×1.02+1000
2	 (1000×1.02+1000)×1.02+1000
3	((1000×1.02+1000)×1.02+1000)×1.02+1000          

Hvert år forrentes saldoen fra sidste år og en ny indbetaling lægges oven i. Vi hæver nu parenteserne og får

	1000×1.023 + 1000×1.022 + 1000×1.02 + 1000
      = 1000×(1.023 + 1.022 + 1.02 + 1)          

og det er ved nærmere eftersyn ikke så underligt, fordi formlen kan tolkes sådan: de første 1000 kr forrentes 3 gange. Hertil kommer de næste 1000 kr, som forrentes 2 gange - o.s.v. De sidste 1000 kr forrentes ikke. I anden omgang kan de 1000 sættes uden for parentes.
Nu til tricket. Den lange parentes kaldes for S (summen), vi ganger den igennem med 1.02 og trækker originalen fra:

	1.02S = 1.024 + 1.023 + 1.022 + 1.02
	    S =         1.023 + 1.022 + 1.02 + 1
	0.02S = 1.024                        - 1          

Nu kan S isoleres, vi får
og vi kan endelig indsætte den fundne formel for S i saldoformlen ovenfor.
Vi får
Nu får vi også belønningen for ikke at have regnet tallene sammen undervejs - de oprindelige tal er genkendelige og kan erstattes med bogstaver. Hermed bliver formlen generel: