Sammensat funktion

Den sammensatte funktion, fºg, svarer ikke til en simpel regneoperation med funktionsværdierne f(x) og g(x). Den beskriver den proces, hvorved den ene funktions forskrift indsættes på x's plads i den anden funktions forskrift. 

Det kan også siges på den måde, at det tal (eller den formel), der er y-værdi for den ene funktion, samtidig bliver x-værdi for den anden funktion.

Den sammensatte funktion defineres sådan:

   
På grund af skrivemåden ovenfor kaldes funktionen g for den indre funktion, mens funktionen f kaldes den ydre funktion. Den indre funktion bruges først, den ydre funktion bruges bagefter.

Eksempel:

Med funktionerne f(x) = 2x - 3   og   g(x) = x² - x
har vi, at
   
og at
   
så den sammensatte funktion har forskriften
   

Eksempel:

På en biltur ned gennem Europa gennem Tyskland til Frankrig kan man få brug for at veksle fra danske kr til tyske mark (DM), og ved indrejsen i Frankrig kan man få brug for at veksle nogle tyske mark videre til franske frank (FR).

Vekselkursen, som omregner fra kr til DM, kan opfattes som en funktion,
    f(kr) = DM,
og vekselkursen, som omregner fra DM til FR kan opfattes som en anden funktion
    g(DM) = FR

Den sammensatte funktion
    (gºf)(kr) = g(f(kr)) = g(DM) = FR
regner så direkte fra kr til FR - uden mellemregninger.

Den sammensatte funktion
    (fºg)(DM) = f(g(DM)) = f(FR)
virker ikke, da f ikke kan veksle fra franske frank.

Definitionsmængde for sammensat funktion

Sammensætning virker kun for de x-værdier, som - når de kommer ud som y-værdier af den første funktion - kan bruges som x-værdier for den næste funktion. I formelsprog kan foregående sætning udtrykkes sådan

    Dm(fºg) = {x | g(x)ÎDm(f) }

I praksis er det dog ikke så indviklet. Vi har nemlig den generelle vedtægt, at funktioner er defineret for alle de x-værdier, som indsat i forskriften giver mening og kan regnes ud - medmindre der i forskriften udtrykkeligt er tilføjet ekstra begrænsninger.

Eksempel:

Betragt funktionerne
      

Den sammensatte funktion, gºf, får nu forskriften

   
Den er defineret, når kvadratrodens indmad er ikke-negativ, d.v.s. når x-2≥0 eller x≥2, så

    Dm(gºf) = [2 ;∞[