Tilvækster i lineære, eksponentielle og potensielle funktioner

I en støttepunktstabel kan x-værdierne vælges frit, mens y-værdierne beregnes som funktionsværdier af de tilsvarende x-værdier (man regner lodret ned fra x-værdierne ved at bruge funktionens regneforskrift). Tabellen nedenfor kræver derfor ikke yderligere begrundelse.

For specielle funktioners vedkommende kan man desuden regne systematisk vandret i tabellen og få samme resultater. Her kræves der yderligere begrundelse for, at "vandret" regning giver samme resultater for specielle funktioner.

Lineære funktioner    f(x) = ax + b

Hver gang x springer med +1, vil y springe med +a, hvor a er funktionens hældningskoefficient. Denne påstand er ikke oplagt, men den kan bevises ved at regne efter, om
    f(x) + a = f(x+1)
som udtrykker, at "vandret" regning giver samme resultat som "lodret" regning.
Vi skal nu bruge forskriften for f, og vi får

    f(x) + a = f(x+1)
Û (ax + b) + a = a(x+1) + b
Û ax + b + a = ax + a + b

og påstanden er hermed bevist.

Mere generelt har vi, at 
hver gang x springer med +Δx, vil y springe med +a×Δx

Her skal regne efter, om følgende to tabeller giver samme resultater

    f(x) + a×Δx = f(x+Δx)
Û (ax + b) + a×Δx = a(x+Δx) + b
Û ax + b + a×Δx = ax +  a×Δx + b

og påstanden er hermed bevist.

Eksponentielle funktioner    f(x) = b×a^x

Hver gang x springer med +1, vil y springe med ×a, hvor a er fremskrivningsfaktoren.

    f(x)×a = f(x+1)
Û b×a^x×a = b×a^x+1
Û b×a^x+1 = b×a^x+1

og påstanden er hermed bevist.

Mere generelt har vi, at
hver gang x springer med +Δx, vil y springe med ×a^Δx

    f(x)×a^Δx = f(x+Δx)
Û b×a^x×a^Δx = b×a^x+Δx
Û b×a^x+Δx = b×a^x+Δx

og påstanden er hermed bevist.

Potensielle funktioner    b×x^a

Hver gang x springer med ×(1+r), vil y springe med ×(1+r)^a

    f(x)×(1+r)^a = f(x×(1+r))
Û b×x^a×(1+r)^a = b×(x×(1+r))^a
Û b×x^a×(1+r)^a = b×x^a×(1+r)^a =

og påstanden er hermed bevist.

Påstanden kan også formuleres sådan:
Når x vokser med r%, så vil y vokse med R% hvor sammenhængen er
    (1+r)^a = 1+R