• Fremskrivningsfaktor
• renters rente
• gennemsnitlig procentisk vækst

Varerne i vores butikker beskattes med en særlig omsætningsafgift, momsen, som for tiden udgør 25% af varens pris. Denne skat lægges oven i prisen, så kunden kommer til at betale den. Momsen beregnes altså som en del af prisen, men lægges så oven i prisen. Herefter er det misvisende at kalde momsen en del af den oprindelige pris, og vi siger i stedet for, at den udgør en vækst i den oprindelige pris.

Fremskrivningsfaktor

Vi kan opstille to slags momsregnskab: et for kronebeløbene og et for procenttallene:

Hvis vi skal afregne momsen med skattevæsenet, så skal vi bruge momsbeløbet, som vi kan beregne sådan:
   25% af 200 kr = 0.25×200 kr = 50 kr
Herefter kan vi beregne pris med moms ved at lægge momsbeløbet sammen med pris uden moms.
Hvis vi derimod kun er interesseret i at nå frem til prisen med moms, så kan vi lave en beregningsmæssig genvej, idet vi direkte kan beregne:
   125% af 200 kr = 1.25×200 kr = 250 kr
Tallet 1.25 kalder vi for fremskrivningsfaktoren svarende til 25% stigning. Det kaldes for faktor, fordi en faktor i matematisk fagsprog er et tal, som vi ganger med. Det kaldes fremskrivnings- fordi det bruges mest i forbindelse med rentetilskrivning. Her vokser kontoen med en bestemt procent, renten, hver gang der er gået et bestemt tidsrum, en termin, og her fortæller fremskrivningsfaktoren, hvor meget vi skal gange med for at fremskrive kontoen med en termin.

I tabellen nedenfor er der en række eksempler på sammenhænge mellem vækstprocent og fremskrivningsfaktor

Hvad skal der stå på spørgsmålstegnenes pladser i tabellen nedenfor

vækstprocent	+1%	+10%	-25%	-9%	+200%
fremskrivningsfaktor	1.01	1.1	0.75	0.91	3

Omregningen mellem vækstprocent og fremskrivningsfaktor klares for det meste som hovedregning, men vi kan i ekstreme tilfælde have gavn af at udtrykke sammenhængen i en formel:
   k = 1 + r
hvor k er fremskrivningsfaktoren og r er vækstprocenten. Vi kan for eksempel finde fremskrivningsfaktoren svarende til 2000% vækst sådan:
   k = 1 + 2000% = 1 + 20.00 = 21,
og vi kan finde vækstprocenten svarende til fremskrivningsfaktoren 0.2 ved at løse ligningen:
   0.2 = 1 + r
Vi får:
   -0.8 = r
hvilket omregnet til procent giver
   -80% = r
svarende til 80% fald.

Renters rente

Eksempel

Eksempel

Et firma køber en bil til 160000 kr. Den afskrives med 20% årligt. Hvor meget er den værd efter 3 år ? Beregn slutværdien på din lommeregner - brug genvejsformel med fremskrivningsfaktor !  160000×0.803 = 81920	år	afskrivning		værdi
	0			kr 160,000.00
	1	- 20%	kr 32,000.00	kr 128,000.00
	2	- 20%	kr 25,600.00	kr 102,400.00
	3	- 20%	kr 20,480.00	kr 81,920.00

Gennemsnitlig procentisk vækst

Du har sandsynligvis før regnet et gennemsnit ud. Det foregår normalt ved at lægge en række tal sammen og så dividere med antallet af tal.
Hvis et firma med 10 ansatte udbetaler 15000 kr pr måned i løn til de ansatte, så vil firmaet have en månedlig samlet lønudgift på 15000 kr × 10 = 150000 kr. Pointen er her, at vi ud fra oplysningen om den gennemsnitlige løn kan beregne den samlede faktiske lønudgift.

Skræk eksempel
Eksemplet her viser ikke, hvordan du skal gøre ! Det er medtaget for at vise, hvorfor du ikke skal gøre sådan.
Et investeringsfirma beretter, at det i de forløbne 3 sidste år har udbetalt henholdsvis 30%, 10% og 20% til investorerne. Vi kan nu beregne gennemsnittet som ovenfor, og vi får
  
Lad os nu se, hvordan en investering på 1000 kr voksede, dels når vi bruger faktiske vækstprocenter:
   1000 kr × 1.30 × 1.10 × 1.20 = 1716 kr,
dels når vi bruges de 20 %
   1000 kr × 1.20³ = 1728 kr.
Dette gennemsnit kan altså ikke bruges til at rekonstruere den samlede vækst.

Vi vil derfor beregne gennemsnit på en anden måde, når det drejer sig om vækstprocenter, idet vi også her vil kræve, at det "rigtige" gennemsnit skal kunne bruges til at rekonstruere virkeligheden med.

Ordentligt eksempel

Vi regner videre med tallene fra skrækeksemplet, og oversætter kravet om, at gennemsnittet skal kunne rekonstruere virkeligheden, til en ligning:

Vi har her kaldt det ukendte gennemsnit for p, og parentesen (1 + p) udregner den tilsvarende fremskrivningsfaktor. Isolér nu p med musen ovenfor og beregn p.

Opgaver

1. Et firma øger omsætningen fra 2.3 mio kr til 3.5 mio kr på fire år. Bestem den gennemsnitlige årlige procentiske vækst.	Prøv at løse ligningen med blyant og papir - kontrollér med musen nedenfor
2. En computer falder i værdi fra nypris: 9995 kr til 3500 kr på to år. Bestem det gennemsnitlige årlige procentiske fald.
3. I januar steg benzinprisen med 10%. I februar faldt den med 10%. Er prisen herefter den samme som den var ved årsskiftet ? - svaret kommer ikke an på startprisens størrelse. Du kan frit vælge en startpris, hvis du synes det er klarere. nej, de to gange 10% beregnes af forskellige priser
4. I januar steg kaffeprisen med 8%. I perioden februar-marts faldt den med 3% pr måned. I perioden april-maj steg den med 4%. Beregn den samlede procentiske stigning i hele perioden. 1.08×0.972×1.04 = 1.0568 ~ 5.68% stigning i alt Beregn også den gennemsnitlige månedlige procentiske stigning. 1.0568 = (1+p)5 giver p = 1.11% stigning pr måned