Tegn en plan

Indtast et punkt (venstre side) og en normalvektor (højre side) til planen (der må kun indtastes hele tal).

Det er muligt at dreje med koordinatsystemet, således at planens beliggenhed bliver tydeligere.

Programmet benytter sig af den skrå parallelprojektion, som beskrives nedenunder.

Øvelser Tegn planerne givet ved de følgende ligninger
  1. 2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
  2. 2(x-1)+(y-1)+z=0
  3. 2x+y+z-5=0
  4. x-1=0
  5. y+1=0
  6. z-2=0
  7. x+y-1=0
  8. x+y+z-1=0
  9. 3x-2y+3z-8=0

Den skrå parallelprojektion afbilder et punkt i rummet i et punkt i yz-planen: S(x,y,z) = ( y1 , z1 ). Da x-aksen i det tredimensionale koordinatsystem er tegnet med en vinkel på 45 grader med z-aksen i yz-koordinatsystemet, finder vi let regneforskriften til

S(x,y,z)=(y-x·cos(45°),z-x·sin(45°))

PS. Gælder kun hvis enhederne er ens på de tre akser. I praksis vælger man gerne en enhed på y og z-aksen som er m (m > 1) gange så stor som på x-aksen. Den faktiske forskrift bliver derfor:

S(x,y,z)=(m y-x cos(45°),m z-x sin(45°))

Sætning.

Den skrå parallelprojektion er en lineær afbildning af rummet på planen, dvs.

1.S(x+u,y+v,z+w) = S(x,y,z) + S(u,v,w)
2.S(kx,ky,kz) = kS(x,y,z), hvor k er en konstant.

Bevis:

overlades til læseren.

Sætning.

Den skrå parallelprojektion afbilder en ret linje i en ret linje under forudsætning af, at linjen ikke er parallel med projektionsretningen.

Bevis:

Billedet af parameterfremstillingen:
(x,y,z) = (p,q,r) + t(a,b,c)
bliver
S(x,y,z) = S(p,q,r) + tS(a,b,c)
i følge den foregående sætning.
Hvis S(a,b,c) er forskellig fra 0, er billedet lig med en ret linje. Hvis S(a,b,c) = 0 er billedet lig med et punkt.

Sætning.

Den skrå parallelprojektion afbilder parallelle linjer i parallelle linjer under forudsætning af, at linjerne ikke er parallelle med projektionsretningen.

Bevis:

Da parallelle linjer har proportionale retningsvektorer fås sætningen umiddelbart af de foregående sætninger.

Bemærkning

Læg mærke til, at hverken afstande eller vinkler bevares ved den skrå parallelprojektion.

drejning (plangeometri) - drejning i rummet

02/2004/pmh