Bezierkurver
Bezier var ingeniør på Renault fabrikkerne, da han i slutningen af 1960'erne udviklede teknikken med at lave tegninger af flader til brug for bildesign. Idag bruges hans teori i mange forskellige sammenhænge, fx tegnes kurver i PostScript som Bezierkurver af tredje grad.
Ideen bag en Bezierkurve er meget simpel, idet udgangspunktet er formlen
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
sætter vi a = 1-t og b = t fås a+b = 1, dvs
1 = (1-t)3 + 3(1-t)2t + 3(1-t)t2 + t3
(1-t)3 , 3(1-t)2t , 3(1-t)t2 og t3, er de såkaldte Bezierkoefficienter. De har følgende simple egenskaber:
- Når t ligger mellem 0 og 1 ligger Bezierkoefficienterne mellem 0 og 1
- Summen af Bezierkoefficienterne er altid 1
De kan derfor benyttes til at lave et vægtet gennemsnit af fire givne punkter P(xo,yo),
Q(x1,y1),
R(x2,y2) og
S(x3,y3).
Derved fremkommer netop Bezierkurven, som for t i [0;1] får parameterfremstillingen
x(t) = (1-t)3 xo + 3(1-t)2t x1 + 3(1-t)t2 x2 + t3 x3
y(t) = (1-t)3 yo + 3(1-t)2t y1 + 3(1-t)t2 y2 + t3 y3
Den har følgende simple egenskaber:
- Kurven starter i P (for t = 0) og slutter i S (for t = 1)
- Kurven har linjestykket PQ som tangent i P og tilsvarende linjestykket RS som tangent i punktet S.
P og S er altså endepunkter for kurven, mens Q og R fungerer som kontrolpunkter for kurven. I appletten øverst på siden, kan du afprøve princippet ved at trække i de røde kontrolpunkter og/eller de blå endepunkter.
Der findes en del sider om Bezierkurver på Nettet.
|