Drejning i planen

Kvadraterne kan dreje uafhængigt af hinanden om hvert sit drejningspunkt, samtidig med at linjen drejer rundt med kvadraterne.

Matematikken forklares nedenunder.
Vi skal bruge to af de såkaldte additionsformler:

cos(u+v) = cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)
sin(u+v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)

Bevis for formlerne:

Hvis to enhedsvektorer har koordinatsættene (cos(u),sin(u)) henholdsvis (cos(v),sin(v)), er cos(u-v) lig med skalarproduktet af de to vektorer: dvs.

cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v).

Denne formel gælder for alle u og v, så hvis vi erstatter v med -v og udnytter, at cos(-v)=cos(v) og sin(-v)=-sin(v), fås den første formel.

Hvis vi erstatter u med 90°-u og udnytter, at cos(90°-x)=sin(x) og sin(90°-x)=cos(x), fås den anden formel.

Q.e.d.

Hvis P(x,y) er et vilkårligt punkt i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem, kan (x,y) også skrives således

(x,y) = (rcos(u), rsin(u))

Hvis vi drejer punktet vinklen v omkring Origo, drejes P over i punktet P' givet ved

P' = (rcos(u+v), rsin(u+v)).


Men da
rcos(u+v) = rcos(u)cos(v) - rsin(u)sin(v) = xcos(v)-ysin(v)
rsin(u+v) = rsin(u)cos(v) + rcos(u)sin(v) = ycos(v)+xsin(v)

bliver drejningen altså bestemt ved
x' = xcos(v) - ysin(v)
y' = xsin(v) + ycos(v)

Hvis vi drejer om et andet punkt end Origo, foregår det ved først at parallelforskyde til Origo, dreje om Origo, og dernæst forskyde tilbage igen. Hvis drejningspunktet har koordinatsættet (a,b) bliver drejningen derfor givet ved:

x' = (x-a)cos(v) - (y-b)sin(v) + a
y' = (x-a)sin(v) + (y-b)cos(v) + b


Drejning i rummet - Planer i rummet

02/2004/pmh