Om Pythagoras sætning og vinkelrette linjer


Der findes mange beviser for den Pythagoræiske læresætning, se fx. Pythagoras' Haven som indeholder et visuelt bevis (Javaapplet), som dog ikke hører til de simpleste.
Vi kan let forbedre Pythagoras sætning til


Bevis: Vi skal kun bevise punkt 1 og 3, idet punkt 2 er Pythagoras sætning. Træk med musen i punktet A, og læg mærke til, at vinklen C og at siden c ændres uden at hverken a eller b ændres.


Et fuldstændigt bevis kan føres ved at betragte højden fra punktet A, og bruge Pythagoras' sætning på de to retvinklede trekanter.
Af ovenstående sætning udleder vi nu let Pythagoras' udvidede sætning :


Bevis: Hvis ligningen gælder, kan vinklen hverken være spids eller stump, altså må den være ret.
Som en anvendelse af denne sætning vil vi bevise følgende sætning om rette linjer:


Bevis:
Først tegnes de to linjer

l : y = ax + b (hvor a > 0)

m: y = cx + d (hvor c < 0)

og en linje parallel med x-aksen gennem deres skæringspunkt S.

Dernæst tegnes en linje parallel med y-aksen gennem punktet Q, hvor |SQ| er lig med 1.

Så er |PQ| = a og |QR| = -c (da c < 0 ). Dermed bliver |PR| = a-c.

Klik nu på tegningen for at gøre beviset færdigt.


Træning med vinkelrette linjer

01/2004/pmh