Kvadrering af polygoner

Ved en polygon forstås en mangekant, dvs. en trekant, firkant, femkant, osv..

Vi siger, at en polygon kan kvadreres, hvis det er muligt at konstruere et kvadrat, som har samme areal som polygonen.

Bemærkning: At konstruere betyder at konstruere med passer og lineal (uden at bruge målestokken). Nedenunder vises to klassiske konstruktioner. Klik på tegningerne for at starte/stoppe animeringen.


Oprejsning af den vinkelrette gennem punktet P.


Nedfældning af den vinkelrette fra punktet P.


Nedenunder skitseres et bevis for følgende

Hovedsætning
Enhver polygon kan kvadreres.

Hjælpesætning
Lad ABC være en retvinklet trekant, hvor C er den rette
vinkel, og lad højden h fra C dele hypotenusen i to stykker
e og f.

Så gælder, at h2 = e·f


Klik på tegningen for at se beviset.

Sætning 1
Ethvert rektangel kan kvadreres


Klik på tegningen for at se beviset.

Sætning 2
Enhver trekant kan kvadreres.

Trekantens rektangel kan kvadreres, og det er let at halvere et kvadrat, dvs at konstruere et kvadrat med det halve areal (Vink: tegn diagonalerne).

Bevis for hovedsætningen

Da en polygon altid kan opdeles i trekanter, kan vi kvadrere hver af trekanterne. Men da en sum af kvadrater kan kvadreres i følge Pythagoras sætning, er sætningen hermed bevist.

Bemækning

Det har altid været et udfordrende problem at forsøge at kvadrere en cirkel. Problemet kan ikke løses med passer og lineal alene, men det er altid muligt at konstruere et kvadrat, der tilnærmer cirklen med en ønsket nøjagtighed. Hvis vi for eksempel indskriver en regulær 64-kant i cirklen, så afviger dens areal mindre end 0,2 % fra cirklens areal, og polygonen kan kvadreres ifølge hovedsætningen.


12/2003/pmh