Område: Algebra Emne: Keglesnit og lineær algebra Niveau: A
Opgave/Titel: Giv først en kort oversigt over keglesnittene og deres elementære geometriske karakteristika.

Dernæst skal du omtale en række lineære afbildninger af planen ind i planen. Herunder skal du forklare, hvordan disse afbildninger kan beskrives ved hjælp af matricer. Du skal også forklare, hvordan disse afbildninger & matricer kan bruges til at bestemme art og beliggenhed af et keglesnit, givet ved en andengradsligning i to variable.
I tilknytning hertil skal du løse mindst to af opgaverne i medfølgende bilag.

(Bemærk: Der kræves ikke en detaljeret redegørelse for regning med matricer; men du skal forklare den geometriske betydning i de tilfælde du behandler her.) 
 
Bilag:

Opgave 1: Bestem art og beliggenhed af de punktmængder, der beskrives ved følgende ligninger:
 a. 4x2+9y2+36y=0
 b. 3x2-y2+6x+6=0
 c. y2+4y-x+1=0
 

Opgave 2: Vis, at ligningen 3x2-3y2-2xy+20y-33=0 fremstiller en hyperbel.
 Bestem hyperblens centrum og asymptoter.
 

Opgave 3: Undersøg og tegn de punktmængder, der er givet ved følgende ligninger:
 a. xy+y2+2x+3y-1=0
 b. x2+3y2+2*3xy-2x=0
 

Opgave 4: I et koordinatsystem i planen er en punktmængde M givet ved ligningen
  (a2+a)x2+(a+1)y2=1,
 hvor a er et reelt tal.
 Bestem for enhver værdi af a arten og beliggenheden af M.
 

Kilder: