Område: Algebra Emne: Algebra Niveau: A
Opgave/Titel: Giv en fremstilling af de algebraiske grundbegreber, der ligger til grund for en definition af gruppebegrebet.

Herefter ønskes en nærmere behandling af gruppebegrebet indeholdende udvalgte sætninger, idet også begreberne homomorfi og isomorfi inddrages.

De behandlede begreber ønskes illustreret med selvvalgte eksempler og med en besvarelse af udvalgte opgaver fra bilaget.

Bilag:
  1. I mængden R af reelle tal defineres en komposition * ved
    a*b = a + b - ab
    1. Vis, at (R,*) er en kommutativ semigruppe med det neutrale element 0.
    2. Løs for ethvert element a i R ligningen a * x = 0 med hensyn til x.
    3. Vis, at R\{1} er stabil overfor * og begrund, at (R\{1},*) er en abelsk gruppe.

  2. Lad (M,*) være en vilkårlig semigruppe. Et element c i M kaldes centralt, hvis c kommuterer med ethvert element i M. Mængden C af centrale elementer kaldes centrum for M.
    1. Vis, at C er en stabil delmængde af (M,*).
    2. Vis, at hvis (M,*) er en gruppe, er (C,*) en kommutativ undergruppe af (M,*).

  3. Følgende kompositionstabel definerer en gruppe, kaldet Kleins fire-gruppe:
      e a b c
    e e a b c
    a a e c b
    b b c e a
    c c b a e
    Idet gruppen tænkes multiplikativt skrevet, ønskes følgende reduceret:
    1. a5b3c8
    2. apbqcr (hvor p,q og r er positive hele tal)

    Konstruer dernæst kompositionstabellen for en multiplikativt skrevet fire-gruppe G={e,x,y,z} med e som neutralt element og hvor x2=y.
    Begrund at denne gruppe er cyklisk.

  4. Lad loga være en logaritmefunktion med grundtal a.
    1. Vis, at funktionen f defineret ved
      f(x)=loga(|x|)
      er en homomorfi af (R\{0},·) på (R,+)
    2. Begrund, at f ikke er en isomorfi.
    3. Vis, at der ikke kan etableres en isomorfi af gruppen (R\{0},·) på (R,+).
      Vink: Vis f.eks. at hvis g er en vilkårlig isomorfi af (R\{0},·) på (R,+), gælder at g(-1)=g(1)=0.
Kilder: Carmichael, Robert D. Introductions to the theory of: Groups of Finite Order. Dover publications, New york 1956.

Frandsen, Jesper. Program om algebra.

Kristensen & Rindung. Matematik 2.2, matematisk-fysisk gren. GEC Gads forlag 1974.

Lange, Hans Chr. Algebra 1. Nordisk forlag 1978.

Lange, Hans Chr. Algebra 2. Nordisk forlag 1980.

Lange, Hans Chr. Algebra 2,1 og 2,2. A.M. Kjærs Bogtryk 1975.

Poulsen, Ebbe Thue. Elementær afdeling nr. 9.a og 9.b. Forelæsninger over Algebra. 2. udgave. Århus Universitet, matematisk institut 1968.