Område:	Analyse	Emne:	Taylor- og Lagrangepolynomier	Niveau:	A
Opgave/Titel:	Omtal det approksimerende første og andengradspolynomium. Opskriv Taylor polynorniet af n'te grad for en funktion f udviklet ud fra x0 (taylors formel skal ikke bevises). Omtal konvergensradius og restled for Taylorpolynomiet. Giv eksempler på hvordan man udregner Taylorpolynomiet og på hvordan man bestemmer konvergensradius og restled. Bestem konvergensradius for Taylorpolynomiet af funktionen f(x) = 1/x udviklet udfra x0 = -1 Bestem Taylorpolynomiet af 4. grad af funktionen f(x) = 1/x udviklet udfra x0= -1 Brug Taylorpolynomiet af 4. grad til at bestemme en tilnærmet værdi af -1/Ö 2. Brug restleddet til at give et skøn over afvigelsen. Vis at der gennem n+1 punkter går netop ét n'te gradspolynomium og udled en formel for dette polynomium (Lagrangepolynomiet). Beregn (uden brug at TI-82) det Lagrangepolynomium af 3. grad der tilnærmer f(x)=1/(1-x) i punkterne (0;1), (1/2;2) og (1/4;4/3). Givet en funktion f. Gør rede for at man kan vælge punkter omkring (x0,f(x0)) således at Lagrangepolynomiet der tilnærmer f i disse punkter har samme numeriske afledede f', f",... i x0 som funktionen f. Gør rede for at dette Lagrangepolynomium svarer til et tilsvarende Taylorpolynomium. Bestem Taylorpolynomiet T4 af 4. grad af funktionen udviklet ud fra x0=1. Bestem ved hjælp at T4(x) en tilnærmet værdi af e0,25 . Bestem restleddet R5 (x) og angiv afvigelsen på bestemmelsen af e0,25. (TI-82 må gerne bruges til at bestemme maksimum for restleddet). Bestem det tilsvarende Lagrangepolynomium L4 af 4. grad. (TI-82 må gerne bruges til at bestemme L4).
Kilder:	Felsager, Bjørn Schomacker, Gert. Tænk med en graf København 1997 Finney, Ross L Thomas, George B. Demana Franklin Waits, Bert K .Calculus -Graphical, Numerical, Algebraic. USA 1994 Fenchel, Werner, Handest. Meyer, Henrik, Neerup, Poul. Elementær matematik. København 1967 Carstensen, Jens. Numeriske metode. Århus 1995 Carstensen, Jens. Bogen om e. Århus 1995 Carstensen, Jens. Talfølger og talrækker. Århus 1997 Larsen, Niels Holm. Offenberg, Pedersen, Inge Wendel. Differentialregning. København 1988 www.math.wpi.edu/Course_Materials/Calc3/Labs/node4.html http://iq.orst.edu/mathsg/SandS/PowerSeries/error_bounds.html (dødt link)