Område: | Blandet | Emne: | Approksimation med polynomier | Niveau: | B | ||||||||||||||||||||||||
Opgave/Titel: | 1. En undersøgelse af trediegradspolynomier
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a # 0. Giv en systematisk gennemgang af de mulige grafiske billeder for trediegradspolynomier med inddragelse af antal rødder, monotoniforhold og vandrette vendetangenter. 2. I visse tilfælde kan man gætte en rod. Bevis følgende
sætning: "Hvis den uforkortelige brøk p/q (p e
Z og q e N) er rod i et polynomium
3. Undersøg følgende funktioner og deres graf med henblik
på nulpunkter, fortegn, monotoniforhold, ekstrema og vandrette vendetangenter:
Om polynomier gælder følgende sætning:
4. Bestem det førstegradspolynomium der går gennem punkterne
5. Bestem det andengradspolynomium der går gennem punkterne
6 Bestem det trediegradspolynomium der går gennem punkterne
7. Bestem det approksimerende førstegradspolynomium
Tegn graferne for f(x) og P1(x) i samme koordinatsystem. Giv en vurdering af approksimationen. 8. Bestem Taylorpolynomiet P2(x) af anden orden for funktionen f(x) = ex med udviklingspunkt x0 = 0. Udfyld et lignende skema som ovenfor og tegn graferne for f(x) og P2(x). Giv en vurdering af approksimationen. Foretag en sammenligning med resultaterne i opgave 7. 9. Idet vi betragter funktionen f(x) = 3x, ønskes en sammenligning mellem følgende to approksimerende polynomier: a. Taylorpolynomiet P3(x) af tredie orden med udviklingspunkt x0 = 0.
10. Giv et eksempel på to forskellige approksimerende polynomier til en funktion efter eget valg, og giv en vurdering af disse approksimationer. |
||||||||||||||||||||||||||||
Kilder: | "Matematik tilvalg", Trip.
"Matematik Højniveau 2", Trip. |