Område: Blandet Emne: Approksimation med polynomier Niveau: B
Opgave/Titel: 1. En undersøgelse af trediegradspolynomier 
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a # 0. Giv en systematisk gennemgang af de mulige grafiske billeder for trediegradspolynomier med inddragelse af antal rødder, monotoniforhold og vandrette vendetangenter. 

2. I visse tilfælde kan man gætte en rod. Bevis følgende sætning: "Hvis den uforkortelige brøk p/q (p e Z og q e N) er rod i et polynomium 
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 med heltallige koefficienter, da går q op i an og p går op i a0." 

3. Undersøg følgende funktioner og deres graf med henblik på nulpunkter, fortegn, monotoniforhold, ekstrema og vandrette vendetangenter: 
f(x) = x3 - 6x2 + 12x - 7. 
g(x) = -1/4x3 + 3/4x - 1/2. 
h(x) = 1/2x3 + x2 - 2x -3/2. 

Om polynomier gælder følgende sætning: 
"For givne indbyrdes forskellige tal x0, x1, x2, ..., xn e
og givne tal y0, y1, y2, ..., yn e R findes et og kun et polynomium 
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 
for hvilket f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn

4. Bestem det førstegradspolynomium der går gennem punkterne 
(-2,7) og (3,1). 

5. Bestem det andengradspolynomium der går gennem punkterne 
(1,-6), (3,0) og (6,3/2). 

6  Bestem det trediegradspolynomium der går gennem punkterne 
(-1,-3), (0,1), (1,-1) og (2,-3). 

7. Bestem det approksimerende førstegradspolynomium 
P1(x) til funktionen f(x) = ex i punktet (0,1).   Udfyld et skema som nedenstående: 
 
x -2 -1 0 ½ 1 2
ex               
 P1(x)              

Tegn graferne for f(x) og P1(x) i samme koordinatsystem. Giv en vurdering af approksimationen. 

8. Bestem Taylorpolynomiet P2(x) af anden orden for funktionen f(x) = ex med udviklingspunkt x0 = 0. Udfyld et lignende skema som ovenfor og tegn graferne for f(x) og P2(x). Giv en vurdering af approksimationen. Foretag en sammenligning med resultaterne i opgave 7. 

9. Idet vi betragter funktionen f(x) = 3x, ønskes en sammenligning mellem følgende to approksimerende polynomier: 

a. Taylorpolynomiet P3(x) af tredie orden med udviklingspunkt x0 = 0. 
b. det trediegradspolynomium, der går gennem punkterne 
 (-1,1/3), (0,1), (1,3) og (2,9). 

10. Giv et eksempel på to forskellige approksimerende polynomier til en funktion efter eget valg, og giv en vurdering af disse approksimationer. 

Kilder: "Matematik tilvalg", Trip. 
"Matematik Højniveau 2", Trip.