Område: Differentialregning Emne: Taylors formel Niveau: A
Opgave/Titel: Udled Taylors formel med restled og vis herudfra l'Hospitals regel.

Forklar hvordan Taylorrækken for en uendelig ofte differentiabel funktion kan bestemmes. Gør rede for begrebet konvergensradius. Giv eksempler på at Taylorrækken konvergerer mod funktionen ved vurdering af retsleddet. Generel teori for uendelige rækker og potensrækker medtages i fornødent omfang.

Løsning af følgende opgaver skal indgå i besvarelsen:

1. Benyt Taylors formel af 6'te orden til at beregne en tilnærmet værdi for e. Vurder ud fra restleddet størrelsen af tilnærmelsen.

2. Beregn følgende grænseværdier:
ln x/(x2-x) for x -> 1
(sin x - tan x)/x3 for x->0

3. Vis formlen for differentiation af et produkt ud fra Taylors formel. Hvordan kommer formlen for den 2. afledede til at se ud?

4. Bestem konvergensradius for Taylorrækken hørende til funktionen ln x udviklet fra punktet x0=1.
Kilder: Hansen, Poul Einer: "Grundbog i matematik - overgymnasialt niveau"; Jordbrugsforlaget 1993

Laub, Jesper: "Matematik 1y Analyse §§19-31"; eget forlag 1968-69

Lindstrøm, Tom: "Kalkulus"; Universitetsforlaget 1996
Bogen 'Kalkulus' er virkelig guld værd, hvis man skal skrive om dette emne!