Taylors formel og anvendelser af denne

Område:

Differentialregning

Emne:

Niveau:

Opgave/Titel:

Udled Taylors formel, herunder formelen for restleddet. Udnyt Taylorudviklingen af en funktion til at vise l’Hospitals regel og til at afgøre max/min-spørgsmål. I forbindelse hermed skal opgaverne på bilaget besvares.
Indfør potensrækkebegrebet (gerne kort) og giv eksempler på Taylorrækker for vilkårligt ofte differentiable funktioner. I forbindelse hermed kan rækker til beregning af tallene e og p/4 bestemmes.

Bilag:

Opgave 1.
(mangler figur)
Benyt Taylors formel til at beregne 2. Ordens opproximationen f₂(x) omkring a = 0.
Giv en vurdering af den fejl R₂(1/10) der begås ved at benytte f₂(1/10) som en tilnærmet værdi til (1,1)^1/5.

Opgave 2.
Beregn følgende grænseværdier:
a) lim(ln(sinx + 1 )/(e^x - 1)) for x # 0,
b) lim(sin(x³)/sin(x²)) for x # 0.

Opgave 3.
Beregn nulpunkterne for f’(x) når f(x) = x⁴ - 2x³ - 5 .
Afgør for hvert nulpunkt for f’ hvorvidt punktet er et lokalt maximums-, et lokalt minimums- eller et vendetangentspunkt.

Kilder:

Andersen, P.O. m.fl.: “Matematik for gymnasiet 2A”, 1968, Nordisk Forlag.
Bak, Thor A & Lichtenberg, Jonas: “Funktions of one and several variables”, WA Benjamin INC, 1967.
Borchsenius, V.: “Forelæsningsnoter til videregående emner fra analysen i matematik B”, Aarhus Universitet, mat. Inst., 1976.
Hansen, Poul Ejnar: “Grundbog i matematik - overgynasialt niveau” Jordbrugsforlaget, 1993.
Mejlbo, Lars C.: “Uendelige rækker med historiske eksempler nr. 13", Aarhus Universitet-elementærafd., 1971.
Svendsen, Torben: “Bogen om ?”, Systime, 1992.
Sydsætter, Knut: “Matematisk analyse bd. I”, 4.udg., 2.opl., 1981, Universitetsforlaget.
Toft, Bjarne: “Noter til matematik 1, hæfte 2", Odensen Universi-tet, mat. Inst., 1990.