Område:	Fraktaler	Emne:	Iteration, figentræer og Feigenbaums tal	Niveau:	A
Opgave/Titel:	Giv en beskrivelse af iterative systemer, herunder begreber som baner, forskellige typer fikspunkter, cykler, periodefordobling og kaos; omtal også grafisk illustration af iterationen. Bevis, at et såkaldt tiltrækkende fikspunkt virkelig er tiltrækkende. Betragt iterationsfunktionen f(x) = -2x3 + ax2, hvor a>0. Bestem fikspunkterne og deres type i tilfældet a=3. For hvilke a-værdier findes der mere end ét fikspunkt? Vis, at der findes to a-værdier, hvor ét af fikspunkterne er neutralt og demonstrér neutraliteten ved passende iterationer. Beskriv fremkomsten af det klassiske "figentræ" for iterationen f(x) = ax(1-x) og gør rede for fremkomsten af Feigenbaums tal ?=4.6692. Undersøg på datamat figentræet for iterationsfunktionen f(x) = ax2sin(?x), for 1.8 < a < 2.3 og 0 < x < 1. Forsøg numerisk at bestemme periodefordoblingsparametrene og herudfra Feigenbaums tal.
Kilder:	Felsager, Bjørn m.fl.: "Figentræer og MAndelbrød", Mat.lær.for., 1990. Henneberg, Jens: "Her går grænsen for vor viden", artikel i Illustreret Videnskab nr. 5, 1990. Carstensen, Jens m.fl.: "Matematik 3", Systime, 1990. Hansen, Ernst: "bifurkationer - en vej til kaos", artikel i Naturligvis fra KU, 1991. Emmeche, Claus: "Livets logik er ikke lineær", artikel i Naturligvis fra KU, 1991.