Område:	Fraktaler	Emne:	Iterationer	Niveau:	A
Opgave/Titel:	Gør rede for iterationsbegrebet. Vis sætningen om tiltrækkende/frastødende fixpunkter. Der ønskes en gennemgang af det iterative system, der bygger på den logistiske udviklingsfunktion Vis at f har netop et fixpunkt M, og vis at det er tiltrækkende. Udregn udtrykket for bane-kurven. Der ønskes en systematisk gennemgang af Figentræets opbygning. Herunder skal 2-cyklerne behandles grundigt. Følgende opgaver skal inddrages i besvarelsen: OPGAVE 1: Betragt iterationen xn+1 = sin(xn) +2 Beregn og opskriv de første 10 tal i banen for startværdi x0 = 1. Hvad sker der når n® ¥ ? Forklar hvorfor. OPGAVE 2: Betragt et iterativt system med udviklingsfunktionen f(x) = 1/3· (13x - 16x3) Er fixpunkterne tiltrækkende/frastødende/neutrale? Hvordan udvikler banen sig for startværdi x0 = -1/4? Er tocyklen 1,-1, 1,-1 tiltrækkende eller frastødende? Hvordan udvikler banen sig for x0 = 0,1 ? Kommenter. Find samtlige startværdier for hvilke banen ender i tocyklerne 1,1,1,- 1.. eller -1,1,-1,1,.... OPGAVE 3: Forklar at Feigenbaumsystemet med fremskrivningsfunktionen f(x) = 3,l·x·(l-x) har en tiltrækkende 2-cykel og bestem denne. Giv en grafisk illustration idet du tegner grafen for fo f med fixpunkter.
Kilder:	Jaksobsen, Kurt; Fra linear vækst til kaos; Lademann, 1989 Carstensen & Frandsen; Matematik 3; Systime; 1990 Felsager, Bjørn & Schulz, Jonny Figenfræer og mandelbrød , Matematiklærerforeningen 1990 Frandsen, Jesper Komplekse tal og Fraktaler systime 1992