Område: Komplekse tal Emne: Komplekse tal og løsning af ligninger Niveau: A
Opgave/Titel: Bestemmelse af nulpunkter i komplekse polynomier. 

Idet de komplekse tal organiseret med regningsarterne addition og multiplikation forudsættes kendt, skal du indledningsvis redegøre for begreberne reciprokt element og division, konjugering, modu-lus og argument. 
Dernæst skal du løse nedenstående opgaver. I den forbindelse skal du omtale de metoder og sætninger til løsning af ligninger, som du bruger. Hvis nogle af metoderne og sætningerne ikke er bevist eller del af beviset mangler i den anvendte litteratur, kan du, så vidt pladsen tillader det, give et bevis eller udfylde hullerne. 
Hvis tid og plads tillader det, kan du inddrage andre aspekter af emnet. 

Opgave 1: 
Løs følgende tre ligninger indenfor de komplekse tal og afsæt rødderne i talplanen: 
a)  (5 + 12i)z = 6 - 2i 
b)  z2 = 4 + 3i 
c)  z6 = 2 - 3i 

Opgave 2: 
Løs ligningen  z2 + (3 - 3i)z - 2 - 3i = 0 

Opgave 3: 
Find samtlige rødder i polynomiet 
 z4 + 3z3 + 7z2 + 8z + 6, 
idet det oplyses, at en af rødderne er lig med -1 + i. 

Opgave 4: 
Løs følgende ligning, idet det oplyses, at den har mindst én reel rod: 
z3 - 3iz2 - (11 - 6i)z + 6 + 9i = 0. 

Opgave 5: 
Løs ligningen z3 + 3z + 2 - i = 0. 

Kilder: Carstensen, J.: "Komplekse tal", Systime, 1987 og 1993. 
Kristensen og Rindung: "Matematik 3", G.E.C. Gads Forlag, 1967. 
Haage-Petersen, Erik m.fl.: "Nogle kapitler af matematikkens historie, bind 1", Aarhus Universitet, 1979. 
 Buch, K.R. m.fl.: "Matematik IV", Gyldendal, 1965.