Område: Komplekse tal Emne: Komplekse funktioner Niveau: A
Opgave/Titel: Giv en kort indførelse af de komplekse tal og de egenskaber ved de komplekse tal, der er relevante for gennemgangen af komplekse funktioner.

Indfør den komplekse naturlige eksponentialfunktion og gør detaljeret rede for hvorledes denne afbilder den komplekse talplan. Omtal også den naturlige komplekse logaritmefunktion.

Etabler forbindelsen fra den naturlige eksponentialfunktion til de trigonometriske funktioner og gør rede for deres afbildningsforhold. Vis herunder at cos(z) ikke er injektiv i strimlen

Følgende opgaver skal inddrages i besvarelsen:

OPGAVE 1: Gør rede for hvad det vil sige at en funktion er holomorf (analytisk).
  1. Vis at den komplekse eksponentialfunktion f(z) = ez er holomorf.
  2. Afgør om den komplekse funktion f(z) = z3 er holomorf.
OPGAVE 2: Udregn sin(2+i) og log(5-3i).

OPGAVE 3: Løs ligningen sin(z) = 5 , zÎ C
Kilder: Thor A. Bak & Jonas Lichtenberg; "Mathematics for Scientists"; W. A. Benjamin, Inc.; 1966;

Berry m.fl.: "Learning Mathematics through the TI-92"

Jens Carstensen; "Komplekse tal". 2. udgave; Forlaget Systime A/S; 1987;

Jens Carstensen; "Komplekse tal". 3. udgave; Forlaget Systime A/S; 1993, 1995

Jesper Frandsen: "Komplekse tal og fraktaler", 1. udgave; Forlaget Systime A/S; 1992

Helge Elbrønd Jensen; "Matematisk analyse". bind 1. 4. udgave; Matematisk Institut Danmarks Tekniske Højskole; 1979;