Brøkreglen for differentiation:
(
f
g
)
′
=
g⋅
f
′
-
g
′
⋅f
g
2
Sætning:
Hvis funktionen f er differentiabel i x0 med differentialkvotient f'(x0),
d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
=f'(
x
0
)
og hvis funktionen g er differentiabel i x0 med differentialkvotient
g'(x0), d.v.s.
lim
x→
x
0
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
=g'(
x
0
)
hvor g(x0) ¹ 0
så er funktionen
f
g
differentiabel i x0 med differentialkvotient
g(
x
o
)⋅f'(
x
0
)−g'(
x
0
)⋅f(
x
0
)
g
(
x
0
)
2
, d.v.s.
lim
x→
x
0
f(x)
g(x)
−
f(
x
0
)
g(
x
0
)
x−
x
0
=
g(
x
o
)⋅f'(
x
0
)−g'(
x
0
)⋅f(
x
0
)
g
(
x
0
)
2
Bevis: foregår ved hjælp af tretrinsreglen anvendt på funktionen
f
g
og kræver en
hjælpesætning,
som så skal bevises før og uden anvendelse af brøkreglen for differentiation.
- Sekanthældningen bliver
f(x)
g(x)
−
f(
x
0
)
g(
x
0
)
x−
x
0
- Vi kan her slippe af med småbrøker ved at forlænge med begge småbrøkers nævnere
f(x)
g(x)
−
f(
x
0
)
g(
x
0
)
x−
x
0
=
(
f(x)
g(x)
−
f(
x
0
)
g(
x
0
)
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
(
x−
x
0
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
=
f(x)⋅g(
x
0
)−f(
x
0
)⋅g(x)
(
x−
x
0
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
Her kan vi i tælleren plusse og minusse med f(x)·g(x), hvorved slutresultatet i hvert fald ikke forstyrres
f(x)⋅g(
x
0
)−f(
x
0
)⋅g(x)
(
x−
x
0
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
=
−f(x)⋅g(x)+f(x)⋅g(
x
0
)+f(x)⋅g(x)−f(
x
0
)⋅g(x)
(
x−
x
0
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
=
−f(x)⋅(
g(x)−g(
x
0
)
)+(
f(x)−f(
x
0
)
)⋅g(x)
(
x−
x
0
)⋅g(x)⋅g(
x
0
)
=
−f(x)⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
+
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
⋅g(x)
g(x)⋅g(
x
0
)
-
Nu kan vi lave grænseovergangen under anvendelse af adskillige regler for grænseovergang,
sætningens antagelser om brøkerne,
og hjælpesætningen, som sikrer at grænseovergang kan klares med indsættelse.
Resultatet ser sådan ud
lim
x→
x
0
−f(x)⋅
g(x)−g(
x
0
)
x−
x
0
+
f(x)−f(
x
0
)
x−
x
0
⋅g(x)
g(x)⋅g(
x
0
)
=
−f(
x
0
)⋅g'(
x
0
)+f'(
x
0
)⋅g(
x
0
)
g(
x
0
)⋅g(
x
0
)
og efter en lille smule omrokering får vi det ønskede resultat.
Man kan bevise, at hvis g(x0)¹0, så er
g(x) også forskellig fra nul i et område omkring x0, og så er
grænseovergangen mulig med resultatet ovenfor.Der findes mere elegante måder at bevise brøkreglen på, men jeg har valgt her bare at gå lige til sagen.
I dette bevis er desuden ikke medtaget så mange kommenterende detaljer, fordi disse bør kunne leveres af læseren efter en grundig gennemgang af gangereglen.
Idéerne til brøkreglen og til gangereglen er stort set ens.